高考数学复习点拨 解读间接证明的数学利器—反证法VIP免费

解读间接证明的数学利器—反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例1.已知直线,ab和平面，如果,ab，且||ab，求证||a.【证明】因为||ab,所以经过直线a,b确定一个平面。因为a，而a，所以与是两个不同的平面．因为b，且b，所以b.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点P，则Pb，即点P是直线a与b的公共点，这与||ab矛盾．所以||a.【注】线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////ababa．例2.求证：2不是有理数【分析】直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如mn（,mn互质，*,mZnN”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．【证明】假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,mn，使得用心爱心专心2mn，从而有2mn,因此，222mn，所以m为偶数．于是可设2mk(k是正整数），从而有2242kn，即222nk所以n也为偶数．这与m,n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．【注】正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与1是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。例3.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。【证明】假设AC⊥平面SOB，∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO，∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直。【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。例4.若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【解】设三个方程均无实根，则有：△△△12222221644301404420aaaaaa()()(),解得321211320aaaa或,即－32