第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积2,4平面向量的夹角与垂直1,7,11平面向量的模3,8平面向量数量积的综合问题6,9,10平面向量与其他知识的交汇5,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016内江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若a⊥b,则|b|等于(B)(A)(B)2(C)5(D)20解析:由题意可得a·b=(1,-2)·(x,2)=x-4=0,解得x=4.故|b|==2.2.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:a=(1,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.3.(2015秦安县一模)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(C)(A)(B)(C)5(D)25解析:因为|a+b|=5,|a|=,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=50,得|b|=5.4.(2015日照一模)如图,在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,则·的值等于(B)(A)0(B)4(C)8(D)-4解析:因为AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,所以AD=4sin30°=2.所以·=·(+)=·+·=·=2×4×=4.5.(2015临沂二模)设向量a=(cosα,-1),b=(2,sinα),若a⊥b,则tan（α-）等于(B)(A)-(B)(C)-3(D)3解析:因为a⊥b,所以2cosα-sinα=0,即tanα=2,所以tan（α-）===.6.(2015安徽二模)如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为(C)(A)(B)9(C)-(D)-9解析:因为圆心O是直径AB的中点,所以+=2,所以(+)·=2·,因为与共线且方向相反,所以当大小相等时数量积最小,由条件知当PO=PC=时,最小值为-2××=-.7.(2015浙江模拟)向量m=(λ-1,1),n=(λ-2,2),若m∥n,则λ=;若(m+n)⊥(m-n),则λ=.解析:当m∥n时,2×(λ-1)-1×(λ-2)=0,解得λ=0;当(m+n)⊥(m-n)时,m+n=(2λ-3,3),m-n=(1,-1),所以(2λ-3)+3×(-1)=0,解得λ=3.答案:038.(2015海淀区模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为;|2a-b|=.解析:因为|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,所以a·b-a2=2,设a与b的夹角为θ,所以1×6cosθ-1=2,所以cosθ=,因为0≤θ≤π,所以θ=,|2a-b|====2.答案:29.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)由a⊥b,得a·b=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为a∥b,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|==2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|==2.综上,|a-b|为2或2.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.所以cosθ===-.又0≤θ≤π,所以θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=,所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015南昌市一模)已知三角形ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=120°,=3,若P是BC边上的动点,则·的取值范围是.解析:因为三角形ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=120°,所以AB=,∠ABC=30°,所以·=×4×（-）=-8,因为=3,所以=,=λ,0≤λ≤1.因为·=(+)(+)=+λ·++3×,所以·=-8λ+12λ+×(-8)=4λ-,0≤λ≤1.所以·的取值范围是[-,].答案:[-,]12.(2015泸州模拟)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,重心为G,若2a+b+3c=0,则cosB=.解析:因为重心为G,2a+b+3c=0,所以2a=b=3c,不妨设2a=b=3c=1,则cosB==.答案:13(2015淮安一模)已知向量a=(1,2sinθ),b=(sin)θ+),1),θ∈R.(1)若a⊥b,求tanθ的值.(2)若a∥b,且θ∈(0,),求θ的值.解:(1)若a⊥b,则a·b=sin(θ+)+2sinθ=0,所以5sinθ+cosθ=0,所以tanθ=-.(2)若a∥b,且θ∈(0,),则2sinθsin(θ+)=1,整理得sin2θ+sinθcosθ=1,所以+sin2θ=1,所以sin2θ-cos2θ=,即sin(2θ-)=,θ∈(0,),2θ-∈(-,),所以2θ-=,所以θ=.14.(2015黄山一模)已知a=(sin(θ-),-1),b=(-1,3),其中θ∈(0,),且a∥b,(1)求sinθ的值;(2)已知△ABC中,∠A=θ,BC=2+1,求边AC的最大值.解:(1)因为a∥b,所以3sin(θ-)=1,即sin(θ-)=.因为θ∈(0,),所以(θ-)∈(-,).所以cos(θ-)=.所以sinθ=sin(θ-+)=sin（θ-）cos+cos（θ-）sin=×（+...
