专题五辅助角公式及应用一、问题的提出【2017课标II文13】函数的最大值为;.该题可通过辅助角公式化为形式,再运用三角函数的性质解决;我们把(其中角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查.二、问题的探源本题解法:有辅助角公式得;,则;1.所涉及的公式(要熟记,是三角函数式变形的基础)降幂公式:2.关于的说明(1)使用范围:三个特点:①同角(均为),②齐一次,③正余全(2)实施步骤:①一提:提取系数:,表达式变为:②二找:由,故可看作同一个角的正余弦(称为辅助角),如,可得:③三合:利用两角和差的正余弦公式进行合角:(3)举例说明:①②③(4)注意事项:①在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子:,可视为,那么此时表达式就变为:,使用两角差的余弦公式:所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式.当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但与本质是同一个式子(为什么?想想诱导公式的作用~)③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的来代替,再在旁边标注的一个三角函数值.3.规律探究(1)观察式子:主要看三点①系统:整个表达式是以正余弦为主,还是正切(大多数情况是正余弦),确定后进行项的统一(有句老话:切割化弦)②确定研究对象:是以作为角来变换,还是以的表达式(例如)看做一个角来进行变换.③式子是否齐次:看每一项(除了常数项)的系数是否一样(合角公式第二条:齐一次),若是同一个角(之前不是确定了研究对象了么)的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为的形式.例如:齐二次式:,齐一次式:(2)向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂:常用到前面的公式,(还有句老话:平方降幂)例如:,确定研究对象了:,也齐一次,但就是角不一样(一个是,一个是)那么该拆则拆,将打开于是就可合角了三、问题的佐证【例1】(2017山东文7)函数最小正周期为()A.B.C.D.【解析】因为,所以其周期。【例2】(2016高考新课标3理数)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.【误区警示】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.【例3】(2016山东文17)设.(1)求的单调递增区间;(2)把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像,求的值.【解析】(1)由,得,的单调递增区间是,(或写为).【例4】(2016天津理15)已知函数.(1)求的定义域与最小正周期;(2)讨论在区间上的单调性.【解析】(1)的定义域为..所以的最小正周期.(2)令,函数的单调递增区间是.由,得,.设,,易知.又,所以当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.四、问题的解决1.已知,则的值是()A.B.C.D.【答案】D2.(2016山东理7)函数的最小正周期是().A.B.C.D.【答案】B【解析】由,所以最小正周期是.故选B.3.已知函数()的最小正周期为,且,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题可知:由最小正周期为2可得又代入可得:,…,,则故选B.4.在锐角中,角的对边分别为,若,则的取值范围()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得:,,,,,,,故答案选5.(2016浙江高考11)已知,则________,________.【答案】;【解析】,所以,.6.(2016上海文5)若函数的最大值为,则常数.【答案】【解析】由辅助角公式可知函数的最大值为,故.7.已知向量若,则的值为__________.【答案】【解析】所以8.(2015安徽文)已知函数(1)求的最小正周期;(2)求在区间...