高中数学 小问题集中营 专题4.5 辅助角公式及应用-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题五辅助角公式及应用一、问题的提出【2017课标II文13】函数的最大值为；.该题可通过辅助角公式化为形式，再运用三角函数的性质解决；我们把(其中角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查.二、问题的探源本题解法：有辅助角公式得；，则；1．所涉及的公式（要熟记,是三角函数式变形的基础）降幂公式：2.关于的说明(1)使用范围：三个特点：①同角（均为）,②齐一次,③正余全(2)实施步骤：①一提：提取系数：,表达式变为：②二找：由,故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角）,如,可得：③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：(3)举例说明：①②③(4)注意事项：①在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子：,可视为,那么此时表达式就变为：,使用两角差的余弦公式：所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式.当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的来代替,再在旁边标注的一个三角函数值.3.规律探究（1）观察式子：主要看三点①系统：整个表达式是以正余弦为主,还是正切（大多数情况是正余弦）,确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）②确定研究对象：是以作为角来变换,还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换.③式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）,若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为的形式.例如：齐二次式：,齐一次式：（2）向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂：常用到前面的公式,（还有句老话：平方降幂）例如：,确定研究对象了：,也齐一次,但就是角不一样（一个是,一个是）那么该拆则拆,将打开于是就可合角了三、问题的佐证【例1】（2017山东文7）函数最小正周期为（）A.B.C.D.【解析】因为,所以其周期。【例2】（2016高考新课标3理数）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．【例3】（2016山东文17）设.（1）求的单调递增区间；（2）把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像,求的值.【解析】（1）由,得,的单调递增区间是,（或写为）.【例4】（2016天津理15）已知函数.（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性.【解析】（1）的定义域为..所以的最小正周期.（2）令,函数的单调递增区间是.由,得,.设,,易知.又,所以当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.四、问题的解决1.已知，则的值是（）A.B.C.D.【答案】D2.（2016山东理7）函数的最小正周期是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由,所以最小正周期是.故选B.3.已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，…，，则故选B.4.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得：，,,，,，,故答案选5.（2016浙江高考11）已知,则________,________.【答案】；【解析】,所以,.6．（2016上海文5）若函数的最大值为,则常数．【答案】【解析】由辅助角公式可知函数的最大值为,故．7.已知向量若，则的值为__________．【答案】【解析】所以8.（2015安徽文）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间...