数列的综合问题1．删去正整数数列1,2,3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是()A．2062B．2063C．2064D．2065答案B解析由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第k个平方数与第k＋1个平方数之间有2k个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余2025－45＝1980(个)数，所以去掉平方数后第2018项应在2025后的第38个数，即是原来数列的第2063项，即为2063.2．已知数列{an}满足0
10的n的最小值为()A．60B．61C．121D．122答案B解析由a－8a＋4＝0，得a＋＝8，所以a＋＝8＋8(n－1)＝8n，所以2＝a＋＋4＝8n＋4，所以an＋＝2，即a－2an＋2＝0，所以an＝＝±，因为010得>11，所以n>60.∴an＝2n2＋3n，由题意可知，项12345678910个位数5474509290∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为40.7．设x＝1是函数f(x)＝an＋1x3－anx2－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝2，bn＝log2an＋1，若[x]表示不超过x的最大整数，则等于()A．2017B．20181C．2019D．2020答案A解析由题意可得f′(x)＝3an＋1x2－2anx－an＋2， x＝1是函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝3an＋1－2an－an＋2＝0，即an＋2－3an＋1＋2an＝0.∴an＋2－an＋1＝2， a2－a1＝1，∴a3－a2＝2×1＝2，a4－a3＝2×2＝22，…，an－an－1＝2n－2，以上各式累加可得an＝2n－1.∴bn＝log2an＋1＝log22n＝n.∴＋＋…＋＝2018＝2018＝2018－＝2017＋.∴＝2017.8．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为________．答案解析由题意可知＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，①a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n，②由①－②，得2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2，n∈N*)，则an＝2n＋2(n≥2)，又当n＝1时，a1＝4，符合上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－kn＝(2－k)·n＋2，令bn＝(2－k)·n＋2， Sn≤S5，∴b5≥0，b6≤0，解得≤k≤，∴k的取值范围是.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)，则(4n－2＋1)的最小值为__________．答案4解析 Sn＝(an－1)，∴Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，∴an＝4an－1，又a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝4，∴{an}是首项为4，公比为4的等比数列，2∴an＝4n，∴(4n－2＋1)＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当n＝2时取“＝”．10．已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，an2)，求函数f(n)的最小值；(3)设bn＝，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解(1)点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上，即an＋1－an＝1，且a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)·1＝n(n∈N*)．3(3) bn＝⇒Sn＝1＋＋＋…＋，∴Sn－Sn－1＝(n≥2)，即nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，∴(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn－2＋1，…，2S2－S1＝S1＋1，∴nSn－S1＝S1＋S2＋…＋Sn－1＋n－1，∴S1＋S2＋…＋Sn－1＝nSn－n＝(Sn－1)·n(n≥2)，∴g(n)＝n.12．已...
