第一部分专题四立体几何第3讲空间向量与立体几何专题强化精练提能理[A卷]1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|AB|＝()A．18B．12C．3D．2解析：选C.|AB|＝＝＝3.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)．所以EA＝(2，－1，0)，D1F＝(0，2，－1)，cos〈EA，D1F〉＝＝＝－.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.3．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选A.建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，BC1＝(－1，0，2)，AE＝(－1，2，1)，所以cos〈BC1，AE〉＝＝.4．(2015·河南省第一次统一检测)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B.C.D.解析：选D.取AC的中点E，连接BE，如图，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝4×2×＝12＝5×2×cosθ(θ为AD与EB的夹角)，所以cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的正切值为.5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.6.如图，三棱锥ABCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选A.设AB＝1，则CE·BD＝(AE－AC)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AC·AD＋AC·AB＝－cos60°－cos60°＋cos60°＝.所以cos〈CE，BD〉＝＝＝.7．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是________．解析：依题意，设BP＝λBD1，其中λ∈[0，1]，DC·AP＝AB·(AB＋BP)＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝1＋λ·＝1－λ∈[0，1]，因此DC·AP的取值范围是[0，1]．答案：[0，1]8.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析：过O作OE∥CD交BD于点E，由题意知，A′O⊥OC，A′O⊥OE，OE⊥OC，故以O为原点，OC，OE，OA′分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A′(0，0，)，B(－1，0，0)，C(3，0，0)，D(3，2，0)，所以A′B＝(－1，0，－)，CD＝(0，2，0)，A′B·CD＝0，所以A′B⊥CD，故异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案：90°9．(2015·合肥市质量监测)在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝，AC＝4，点M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为________．解析：由题意，以C为原点、以AC边所在直线为x轴、以BC边所在直线为y轴、以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设棱柱的高为a，由∠BAC＝，AC＝4，得BC＝4，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，0)，A1(4，0，a)，B1(0，4，a)，C1(0，0，a)，M，P，Q.所以QP＝(1，2，0)，CA＝(4，0，0)．设异面直线QP与CA所成的角为θ，所以cosθ＝，由|QP·CA|＝1×4＋2×0＋0×0＝4，|QP|·|CA|＝×4＝4，得cosθ＝＝.由sin2θ＋cos2θ＝1，得sin2θ＝，所以sinθ＝±，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以sinθ＝即为所求．答案：10．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．解析：以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)．所以A1E＝，A1D1＝(0，1，0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝...
