高中数学 小问题集中营 专题5.4 深化点 正确的找直线与平面所成角和二面角-人教版高三全册数学试题VIP免费

问题4深化点正确的找直线与平面所成角和二面角一、问题的提出在必修二的学习中会遇到直线与平面所成角和求二面角时要根据定义把角找正确，找直线和平面所成角时，注意在找斜线在平面内的射影时，不能只说斜线在平面内的射影是哪条线，还要进而证明其正确性，才能说明某个角就是斜线与平面所成的角．找二面角时要过棱上一点在两个半平面做垂线.二、问题的探源求斜线与平面所成角的策略(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．解决二面角问题的策略,清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．注意算二种角必要的三个步骤都是，一做，二证、三算.三、问题的佐证：考向一：直线与平面所成的角例一、如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.所以，直线与平面所成的角的正弦值为【对应训练】已知线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为正六棱锥底面边长为2，体积为，则侧棱与底面所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【解析】 正六棱锥的底面边长为2，所以底面积S=，因为体积为，则棱锥的高，底面顶点到底面中心的距离为2，所以侧棱与底面所成的角为45°故选B例2、如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，.（Ⅰ）若，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若，，，求与平面所成角.【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；（III）.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证明为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先证明，，可证明平面，从而可证明平面平面；（3）做于为与平面所成角，根据余弦定理及等腰三角形性质即可求与平面所成角.试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，. 对角线与的交点为，∴， ，∴，∴为平行四边形，∴， 平面，平面，∴平面；（Ⅱ）证明： 四边形为菱形，∴， ，是的中点，∴， ，∴平面， 平面，∴平面平面；（Ⅲ）作于. 平面平面，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，为正三角形，， ，∴为正三角形，∴.中，由余弦定理可得，∴，∴，∴与平面所成角.【通法】求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．考向二：二面角例3、如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1） ，，∴又平面平面，平面平面∴平面.（2）过作，交于点，∴平面∴【训练】如图，在直三棱柱中，,是的中点，是的中点。（1）求异面直线与所成的角；（II）求证（III）求二面角的正切值.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】试题分析：...