椭圆的几何性质要点梳理一、椭圆两个标准方程的几何性质：标准方程图形性质范围对称性关于轴、轴和原点对称顶点、、、、、、焦点、、轴长长轴长，短轴长焦距，离心率准线二、规律总结1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点（顶点、焦点、中心）、对称轴及其他特性的讨论，从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质。学习过程中应注意：图形与性质对照，方程与性质对照，通过数形结合的方式牢固掌握椭圆的几何性质。2涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是方程思想、整体思想在解题中的应用。3．待定系数法是解决问题的一种重要方法，同时要注意方程思想、分类讨论思用心爱心专心1F1F2MyxOyxOF2F1M想在解题中的应用。4．在由椭圆的标准方程写出椭圆的性质，如长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标等，要分清焦点在轴上还是在轴上，不要弄错。三、范例点悟例1已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。分析：解决本题的关键是确定的值，因此，应先将椭圆方程化为标准形式，用表示、、，再由求出的值。解析：椭圆方程可化为。∵，∴，即。由得，∴。∴椭圆的标准方程为，∴。∴椭圆的长轴为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点分别为。用心爱心专心2评注：解决有关椭圆问题，首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置。例2求长轴长为20，离心率等于的椭圆的标准方程。分析：根据椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程。解析：由已知，∴。由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，∴所求椭圆的标准方程为。解析：由椭圆的几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是：①求出、的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程。例3过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求此弦所在直线的方程。分析：由题意可知，该题的实质是求出直线的斜率，而求斜率的方法很多，故可有以下三种解法。解法1：设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理得。又设直线与椭圆的交点为、，则、是方程的两个根，于是。又为的中点，∴，解得。故所求直线方程为。用心爱心专心3解法2：设直线与椭圆的交点为、，为的中点，∴。又、两点在椭圆上，则，两式相减得，于是。∴，即。故所求直线方程为。解法3：设所求直线与椭圆的一个交点为，则另一个交点为。∵、两点在椭圆上，∴①②①②得。由于过、的直线只有一条，故所求直线的方程为。点评：（1）该例这三种解法，是做中点弦问题的常用方法，应当熟练掌握；（2）一般地，过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，则（为坐标原点）。用心爱心专心4
