解读高考中的数学思想——数形结合篇数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解．例1设22{()|(1)1}{()|0}AxyxyBxyxym，，，≥，则使AB成立的实数m的取值范围是_____．解析：由于集合A，B都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A是圆22(1)1xy上的点的集合，集合B是不等式0xym≥表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线0xym应与圆相切或相离且在圆的下方，即0m．当直线与圆相切时有112m，解得21m，故m的取值范围是21m≥．评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决．例2已知函数()()()2()fxxaxbab，若()，是方程()0fx的两个根，则实数ab，，，之间的大小关系是（）．（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab解析：若令()()()gxxaxb，显然函数()gx的两个零点是a、b，函数()fx的两个零点是，，而函数()fx的图象是由函数()gx的图象沿y轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知ab，故应选（B）．例3若方程240xxm恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为_____．1解析：将方程化为24xxm，构造函数2()4()fxxxgxm，，则方程240xxm恰有4个不同的实数根，亦即两个函数()fx与()gx的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当4＜m＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．例4（2006年辽宁高考题）已知函数11()(sincos)sincos22fxxxxx，则()fx的值域是（）．（A）[11]，（B）212，（C）212，（D）212，解析：cos(sincos)11()(sincos)sincossin(sincos)22xxxfxxxxxxxx≥，，，即等价于min{sincos}xx，，因此在同一坐标系下分别画出函数sincosyxyx，的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数()fx的图象，从而容易得到()fx的值域是212，，故答案为（C）．四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5设{}()nanN是公差为d的等差数列，nS是前n项的和，且56678SSSSS，，则下列结论错误的是（）．（A）0d（B）70a（C）95SS（D）6S和7S均为nS的最大值解析：可以把等差数列的前n项和2122nddSnan看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C）．2例6已知在等差数列{}na中，312a，前n项和为nS，且121300SS，．则当nS取到最值时，n等于（）（A）6（B）7（C）12（D）13解析：由于121300SS，，所以130a，而3120a，所以数列的公差d＜0，即数列是递减数列．则2(0)nSanbnabaR，，，如图3，可以把nS看成关于n的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又121300SS，，所以若设抛物线和x正半轴的交点为(0)Mm，，则12＜m＜13，于是抛物线的对称轴为(66.5)2mx，，因此当n=6时nS取到最大值，选（A）．...
