§7.1不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c
b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0b，ab>0⇒＜；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠1．＞0＝0＜02．(1)bc(3)>(4)ac>bcacb＋d(7)ac>bd(10)an>bn(n∈N且n≥2)(11)>(n∈N且n≥2)()已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.＞B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C．sinx＞sinyD．x3＞y3解：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D.()设a，b∈(－∞，0)，则“a>b”是“a－>b－”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解： －＝(a－b)，又1＋>0，若a>b，则(a－b)>0，∴a－>b－成立；反之，若(a－b)>0，则a>b成立．故选C.()记方程①：x2＋a1x＋1＝0，方程②：x2＋a2x＋2＝0，方程③：x2＋a3x＋4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是()A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根解：当方程①有实根，且②无实根时，Δ1＝a－4≥0，Δ2＝a－8＜0⇒a≥4，a＜8，又a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a3，即a3＝，∴a＝＝＜＝16，恰好满足方程③中判别式Δ3＝a－16＜0，此时方程③无实根．故选B.已知a＝2，b＝＋2，则a，b的大小关系是ab.解：由于a＝2，b＝＋2，平方作差得a2－b2＝28－14－8＝14－8＝8＞0，从而a＞b.故填＞.()若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的是________(填序号)．解： a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误． a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②正确． c＜d，∴－c＞－d， a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确． a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确．故填②③④.类型一建立不等关系()设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是()A．3B．4C．5D．6解：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1得1≤t<2，由[t2]＝2得2≤t2<3，由[t4]＝4得4≤t4<5，所以2≤t2<，由[t3]＝3得3≤t3<4，所以6≤t5<4，由[t5]＝5得5≤t5<6，与6≤t5<4矛盾，故正整数n的最大值是4.故选B.【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x]表示不超过x的最大整数，故由[x]＝k，可得k≤x
