专题讲座空间点、线、面之间的垂直与与平行关系[知识点]1：空间中点、线、面之间的垂直与平行的位置关系的判断；2：空间线、面垂直、平行关系的证[诊断性检测]1．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若m、n是异面直线，，，，，则，其中真命题是（Ｄ）Ａ.①和②Ｂ.①和③Ｃ.③和④Ｄ.①和④2．(上海卷)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A）A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.非充分非必要条件3．已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若②若③若；④若a与b异面，且相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是（B）A．1B．2C．3D．44．（北京卷）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（A）A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支5.给出下列关于互不相同的直线lnm,,和平面,的四个命题:①则与m不共面；、m是异面直线，；②；③若，则其中为假命题的是（C）A.①B.②C.③D④6.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（C）A.BC//平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC7.（全国II）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面用心爱心专心A'B'AB交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A8．(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．[64+62=36]9．（湖北卷）关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；其中真命题的序号是②③【典型例题讲解】例1.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB=5点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；（III）设BD1的中点为F，求三棱锥B1-BEF的体积证：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；例2.如图，在底面为平行四边形的四棱用心爱心专心DCABEOF锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求四面体B-AED的体积。解：（1）由平面可得PA^AC又，所以AC^平面PAB，所以（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，\EOPB\PB平面（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，\EFPA又平面，\EF^平面同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135°.(变式题)例3．（2006湖北文文修改）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点。（Ⅰ）当B1M⊥AN时，求CN的长度；（Ⅱ）若CN=时，求点B1到平面AMN的距离。例4．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱（I）证明平面（II）设证明平面本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。（I）证明：取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。用心爱心专心MA1C1B1BCANDCABEOFM（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面[巩固练习]1、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，（1）求证：E、B、F、D1四点共面；（2）若点G在BC上，...
