专题讲座空间点、线、面之间的垂直与与平行关系[知识点]1:空间中点、线、面之间的垂直与平行的位置关系的判断;2:空间线、面垂直、平行关系的证[诊断性检测]1.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面.给出下列的四个命题:①若,,则;②若,,则;③若,,,则;④若m、n是异面直线,,,,,则,其中真命题是(D)A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④2.(上海卷)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的(A)A.充分非必要条件;B.必要非充分条件;C.充要条件;D.非充分非必要条件3.已知a、b、c是直线,是平面,给出下列命题:①若②若③若;④若a与b异面,且相交;⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是(B)A.1B.2C.3D.44.(北京卷)平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是(A)A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支5.给出下列关于互不相同的直线lnm,,和平面,的四个命题:①则与m不共面;、m是异面直线,;②;③若,则其中为假命题的是(C)A.①B.②C.③D④6.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是(C)A.BC//平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC7.(全国II)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和,过A、B分别作两平面用心爱心专心A'B'AB交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB∶A′B′=A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A8.(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.[64+62=36]9.(湖北卷)关于直线与平面,有以下四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若且,则;其中真命题的序号是②③【典型例题讲解】例1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5点D是AB的中点,(I)求证:AC⊥BC1;(II)求证:AC1//平面CDB1;(III)设BD1的中点为F,求三棱锥B1-BEF的体积证:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE, D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE//AC1, DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1//平面CDB1;例2.如图,在底面为平行四边形的四棱用心爱心专心DCABEOF锥中,,平面,且,点是的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求四面体B-AED的体积。解:(1)由平面可得PA^AC又,所以AC^平面PAB,所以(2)如图,连BD交AC于点O,连EO,则EO是△PDB的中位线,\EOPB\PB平面(3)如图,取AD的中点F,连EF,FO,则EF是△PAD的中位线,\EFPA又平面,\EF^平面同理FO是△ADC的中位线,\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E-AC-D的平面角.又FO=AB=PA=EF\ÐEOF=45°而二面角与二面角E-AC-D互补,故所求二面角的大小为135°.(变式题)例3.(2006湖北文文修改)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点。(Ⅰ)当B1M⊥AN时,求CN的长度;(Ⅱ)若CN=时,求点B1到平面AMN的距离。例4.如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱(I)证明平面(II)设证明平面本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力。(I)证明:取CD中点M,连结OM。在矩形ABCD中,又则连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE,且平面CDE,平面CDE。用心爱心专心MA1C1B1BCANDCABEOFM(II)证明:连结FM。由(I)和已知条件,在等边中,且因此平行四边形EFOM为菱形,从而。平面EOM,从而而所以平面[巩固练习]1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)若点G在BC上,...