一、等差数列性质二、等比数列性质三、等差等比数列综合问题培优点十等差、等比数列例1：已知数列，为等差数列，若，，则．【答案】【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列，∴，∴．例2：已知数列为等比数列，若，则．【答案】100【解析】．例3：已知等比数列中，若，，成等差数列，则公比．四、等差等比数列的证明【答案】或【解析】由题可得：，∴，再由等比数列定义可得，，∴，解得或，经检验均符合条件．例4：已知数列的首项，．求证：数列为等比数列．【答案】证明见解析【解析】令，则，∴递推公式变为，∴，∴，∴，对点增分集训是公比为的等比数列，即数列为等比数列．一、选择题1．已知为等比数列，且，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，∴，∴．2．设为等差数列的前项和，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∴，∴．3．已知等差数列中，，，则此数列前项和等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，可得，∴，∴．4．已知等比数列中，各项都是正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，，解得，而为正项数列，，∴．5．若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，①中三个数为，不是等比数列；当时，③中三个数为，不是等比数列；只有②是等比数列．6．已知是等差数列，且公差不为零，其前项和是，若成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵成等比数列，∴，，整理后可得：，∴，则，且，∴故选B．7．在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列前项和特征，可得，从而可判定为等差数列，∵，数列的公差，∴，∴，即．8．设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则有（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】∵，，∴，又，，∴，即．9．设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，可得在中，且最大，∴，，∴最大．10．已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列，∴，∴，∴，解得，∴，．，令，∴．当即时等号成立．二、填空题11．已知等比数列的公比为正数，且，，则．【答案】【解析】，∴，∴，∴．12．设等差数列的前项和为，且，，，则．【答案】【解析】由，可得，即．又，∴．13．已知为等差数列，且前项和分别为，若，则．【答案】【解析】，同理，∴．14．设，其中成公比为的等比数列，成公差为的等差数列，则的最小值是．【答案】【解析】∵成公比为的等比数列，且，∴，，，∵成公差为的等差数列，∴，，∴．．．．．．①，若要最小，则要达到最小，∴在①中，每一项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立．∴，∴，验证当时，，①式为，满足题意．三、解答题15．设是一个公差为的等差数列，它的前项和，且，，成等比数列，求公差的值和数列的通项公式．【答案】，．【解析】因为，，成等比数列，故，而是等差数列，有，，于是，即，化简得，又，得到，由，代入上式得，故，．16．已知数列满足：，且．求证：为等差数列．【答案】证明见解析．【解析】设，则代入，可得，，，．∴为等差数列，即为等差数列．17．已知等差数列的前项的和记为．如果，．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及其相应的的值．【答案】（1）；（2）当或时，取得最小值为．【解析】（1）设数列的公差为，由题意，可得，∴，解得，∴．（2）由数列的通项公式可知，当时，；当时，；当时，，∴当或时，取得最小值为．18．已知等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）或；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，∵成等比数列，∴，即，，解得或，当时，可得；当时，，或．（2）当时，，故不存在符合条件的；当时，，令，解得或（舍），∴的最小值为．综上所述：当时，不存在符合条件的；当时，的最小值为．
