备战数学应考能力大提升典型例题例1如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．解：(1)正六棱锥(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝a，∴该平面图形的面积S＝a·a＝a2.(3)V＝·6·a2·a＝a3.例2有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．求这三个球的半径之比．解：设正方体的棱长为a，球的半径分别为R1，R2，R3.球内切于正方体时，球的直径和正方体的棱长相等，如图1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝；球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD＝2R2＝a，所以R2＝；当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF＝2R3＝a，所以R3＝.故三个球的半径之比为1::.创新题型1．一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．2．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．3.已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.(1)根据已经给出的此四棱锥的正视图，画出其俯视图和侧视图；(2)证明：平面PAD⊥平面PCD.参考答案1.【解析】如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则OC＝x，∴＝，解得x＝120(3－2)，∴正方体的棱长为120(3－2)cm.所以圆台的母线长为9cm.3.【解析】(1)三视图如图所示(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
