高中数学 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义基础巩固新人教B版必修4VIP免费

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【成才之路】-学年高中数学2.3.1向量数量积的物理背景与定义基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．若a·c＝b·c(c≠0)，则()A．a＝bB．a≠bC．|a|＝|b|D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等[答案]D[解析]∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cos＝|b|·|c|cos，即|a|cos＝|b|cos，故选D.2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案]B[解析]cosθ＝＝＝－.∴θ＝120°.3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为()A．2B．C．2D．4[答案]C[解析]a在b方向上的投影为|a|cos＝4×cos30°＝2.4．|m|＝2，m·n＝8，＝60°，则|n|＝()A．5B．6C．7D．8[答案]D[解析]∵＝cos，∴＝，∴|n|＝8.5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为()A．－5B．5C．－5D．5[答案]A[解析]a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－5.6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于()A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]b·b＋a·b＝|b|2＋|a|·|b|cos＝4＋1＝5.二、填空题7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.[答案]3[解析]a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos30°＝2××＝3.8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．[答案]－3[解析]∵|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，∴a在b方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－)＝－3.三、解答题9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)P1P2·P1P3；(2)P1P2·P1P4；(3)P1P2·P1P5；(4)P1P2·P1P6.[解析](1)∵＝，|P1P3|＝2.∴P1P2·P1P3＝|P1P2|·|P1P3|cos＝2×2×＝6.(2)∵＝，|P1P4|＝4，∴P1P2·P1P4＝2×4×cos＝4.(3)∵＝，∴P1P2·P1P5＝0.(4)∵＝，∴P1P2·P1P6＝2×2×cos＝－2.一、选择题1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确．2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．[答案]C[解析]cos＝＝＝，又∵∈[0，π]，∴＝.二、填空题3．已知△ABC中，|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个三角形的形状为________．[答案]等边三角形[解析]∵AB·AC＝8，∴|AB|·|AC|cos＝8，∴4×4×cos＝8，∴cos＝，∴＝60°，又|AB|＝|AC|，∴三角形是等边三角形．4．对于任意向量a、b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝|a|·|b|·sinθ(其中θ为a与b的夹角)．利用这个新知识解决：若|a|＝1，|b|＝5，且a·b＝4，则a⊗b＝________.[答案]3[解析]设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴sinθ＝.∴a⊗b＝|a|·|b|·sinθ＝1×5×＝3.三、解答题5．如图所示，在▱ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·DA.[解析](1)因为AD∥BC，且方向相同，所以AD与BC夹角是0°.所以AD·BC＝|AD|·|BC|·cos0°＝3×3×1＝9.(2)因为AB∥CD，且方向相反，所以AB与CD的夹角是180°，所以AB·CD＝|AB|·|CD|·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，(←此处易错为60°.)所以AB·DA＝|AB|·|DA|·cos120°＝4×3×＝－6.6．在△ABC中，三边长均为1，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．[解析]∵|a|＝|b|＝|c|＝1，∴＝120°，＝120°，＝120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－，b·c＝|b||c|cos120°＝－，c·a＝|c||a|cos120°＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.7．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．[解析]∵方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴a·b≤|a|2.cos＝＝＝≤＝，又∵0≤≤π，∴≤≤π.即a与b的夹角的取值范围为.

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