【成才之路】-学年高中数学2.5从力做的功到向量的数量积基础巩固北师大版必修4一、选择题1．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．[答案]C[解析]设a与b的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cosθ＝，则cosθ＝＝. θ∈[0，π]，∴θ＝.2．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于()A．1B．－4C．－D．[答案]C[解析]a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6|e1|2＋|e1||e2|cos＋2|e2|2＝－6×12＋1×1×＋2×12＝－.3．(·新课标Ⅱ理，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5[答案]A[解析]本题考查平面向量的模，平面向量的数量积． |a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.联立方程解得a·b＝1，故选A.4．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，则AB·BC的值是()A．1B．－1C．2D．－2[答案]B[解析]AB与BC的夹角为135°，|BC|＝，∴AB·BC＝1××cos135°＝－1.5．已知|b|＝3，a在b方向上的射影是，则a·b的值为()A．3B．C．2D．[答案]B[解析]设a与b的夹角为θ，由题意知|a|cosθ＝.∴a·b＝|a||b|cosθ＝×3＝.6．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于()A．5B．4C．3D．1[答案]B[解析] |a＋b|＝，∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝13.将θ＝120°，|a|＝3，代入可得|b|2－3|b|－4＝0.解之，得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．二、填空题7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝______.[答案]1[解析]考查了向量的数量积，垂直等问题．由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾，∴k－1＝0，k＝1.8．(·江西理，12)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．[答案][解析]本题考查了平面向量的数量积的运算．由已知|a|＝，|b|＝2，a·b＝5.∴|a|cos
＝|a|×＝＝.三、解答题9．已知|a|＝2，|b|＝4.(1)当a⊥b时，求|a＋b|；(2)当a∥b时，求a·b；(3)若(a＋2b)与(3a－b)垂直，求向量a与b的夹角．[解析](1) a⊥b，∴a·b＝0，∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋16＝20，∴|a＋b|＝2.(2) a∥b，当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|＝8；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|＝－8.(3)由(a＋2b)与(3a－b)垂直，得(a＋2b)·(3a－b)＝0，即3a2＋5a·b－2b2＝0，∴5a·b＝2b2－3a2，∴a·b＝4.设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝， 0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.一、选择题1．已知a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B．－2C．－1D．1－[答案]D[解析]本题考查数量积的运算．设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c＝1－|a＋b|·|c|cosθ＝1－·1·cosθ∴最小值为1－，即a＋b与c同向共线时取得最小值．2．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形[答案]D[解析]因为AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB＝AB·(AC－BC)＋CA·CB＝AB·AB＋CA·CB，所以CA·CB＝0，即CA⊥CB，所以三角形为直角三角形，选D.二、填空题3．(·安徽文，13)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．[答案]－[解析]本题主要考查了向量运算及夹角公式运用． |a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．[答案][解析]本题考查了向量的运算． α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，∴2α·β＝α2＝|α|2，∴|2α＋β|＝＝＝＝＝.三、解答题5．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，判断△ABC的形状．[解析]OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB...
