【成才之路】-学年高中数学3.3第1课时双曲线及其标准方程基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．双曲线－＝1的焦距为()A．3B．4C．3D．4[答案]D[解析]c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，则2c＝4，故选D.2．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为()A．1B．C．2D．4[答案]B[解析]如图，以AB为x轴，AB中点O为坐标原点建系． |PA|－|PB|＝3∴P点轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．由图知|PO|最短为.3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线[答案]D[解析]方程mx2－my2＝n可化为：－＝1， mn<0，∴－>0，∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．二、填空题4．双曲线－x2＝1的两个焦点坐标是________．[答案](0，±)[解析]a2＝2，b2＝1，c2＝3，∴c＝±，又焦点在y轴上．5．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为________．[答案][解析] a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该直线方程为x＝，由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.三、解答题6．求与双曲线－＝1共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．[解析]由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为－＝1.由于点(3，2)在所求的双曲线上，从而有－＝1.整理，得k2＋10k－56＝0，∴k＝4或k＝－14.又16－k>0,4＋k>0，∴－40”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的形式，由mn>0，若m＝n，则方程mx2＋ny2＝1表示圆，故mn>0⇒方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，若mx2＋ny2＝1表示椭圆⇒mn>0，故原题为必要不充分条件，充分理解椭圆的标准方程是解决问题的关键．2．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线C的方程为()A．－＝1B．－＝1(y>0)C．－＝1或－＝1D．－＝1(x>0)[答案]D[解析]由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)．3．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A．B．C．D．[答案]C[解析]求出M点的坐标，写出直线MF2的方程，用点到直线的距离公式求解．如图，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)，∴直线MF2的方程为x＋6y－＝0，即x＋2y－3＝0.∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)则双曲线的方程是()A．－y2＝1B．x2－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]B[解析] PF1的中点坐标为(0,2)，∴P点坐标为(，4)，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝－＝6－4＝2，∴a＝1又 c＝∴b2＝()2－12＝4，∴方程为x2－＝1.5．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]本题考查双曲线定义．由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2知|PF2|＝2∴|PF1|＝4，而|F1F2|＝4，∴由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝.二、填空题6．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[答案]2[解析]本题考查了双曲线的概念．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12，∴|PF1|＋|PF2|＝2.充分利用PF1⊥PF2,将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键．7．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b＝________.[答案][解析]由条件知，，∴或， a>0且a>|b|，∴a＋b＝.三、解答题8.已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且MQ·AP＝0，AP＝2AM.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．[分析]画出图形，由条件可得QM是AP的中垂线，先...
