高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积基础巩固 新人教B版必修4VIP免费

【成才之路】-学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．sin75°－sin15°的值为()A．B．C．D．－[答案]B[解析]sin75°－sin15＝2cossin＝2××＝.故选B.2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为()A．－B．－C．D．[答案]C[解析]由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，即cos2α－sin2β＝.3．化简的结果为()A．tanαB．tan2αC．cotαD．cot2α[答案]B[解析]原式＝＝＝tan2α.4．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－mB．mC．－D．[答案]A[解析]sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2αcos2β－cos2α＋cos2αcos2β＝cos2β－cos2α＝－m.5．计算sin105°cos75°的值是()A．B．C．－D．－[答案]B[解析]sin105°cos75°＝(sin180°＋sin30°)＝.6．＝()A．B．C．2D．4[答案]B[解析]＝＝＝.二、填空题7．(·河北邯郸市馆陶一中高一第二次调研)在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，则此三角形是________三角形．[答案]等腰[解析]sinBsinC＝cos2＝，∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1又－π0.∴cosβ－cosα>0，∴cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin·cos＝，∴tan＝∴＝∴α－β＝.3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1]B．[－，]C．[－，]D．[－，][答案]C[解析]cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈.4．tan70°cos10°(tan20°－1)等于()A．1B．－1C．D．－[答案]B[解析]原式＝cot20°cos10°(tan20°－1)＝cot20°cos10°＝cot20°cos10°＝－＝－1.二、填空题5．sin220°＋cos280°＋sin20°·cos80°＝________.[答案][解析]原式＝＋＋sin100°－sin60°＝－cos40°－cos20°＋sin100°＝－×2cos30°cos10°＋cos10°＝－cos10°＋cos10°＝.6．计算－4cos10°＝________.[答案][解析]－4cos10°＝＝＝＝.三、解答题7．求函数y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间．[解析]y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋sin2x＝sin2x－cos2x＝2sin.故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.递增区间为，.8．在△ABC中，求证：(1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcosC；(2)sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos.[解析](1)左边＝sin2A＋－＝sin2A＋(cos2C－cos2B)＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]＝sin(B＋C)2sinBcosC＝2sinAsinBcosC＝右边，∴等式成立．(2)左边＝sin(B＋C)＋2sincos＝2sincos＋2sincos＝2cos＝4sinsincos＝右边，∴原等式成立．9．讨论函数f(x)＝cos(2x－2α)＋cos2α－2cos(x－α)·cosx·cosα的周期、最值、奇偶性及单调区间．[解析]f(x)＝cos(2x－2α)＋－2cos(x－α)cosx·cosα＝＋[cos(2x－2α)＋cos2α]－[2cos(x－α)·cosα]cosx＝＋cosx·cos(x－2α)－cosx[cosx＋cos(x－2α)]＝－cos2x＝－＝－cos2x.∴函数的最小正周期T＝＝π.f(x)max＝，此时cos2x＝－1，即2x＝2kπ＋π，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z；f(x)min＝－，此时cos2x＝1，即2x＝2kπ，k∈Z，x＝kπ，k∈Z.f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，即kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的增区间为[kπ，kπ＋](k∈Z)．由2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.∴函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.