题型六新定义题针对演练1.(2016郴州)设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝ba（a>0）a－b（a≤0）.例如：1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝x－1x2＋1.(因为x2＋1>0)参照上面材料，解答下列问题：(1)2⊕4＝________，(－2)⊕4＝________；(2)若x>12，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．2.对于正整数n，定义F(n)＝n2，n<10f（n），n≥10，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)＝62＝36，F(123)＝f(123)＝12＋02＝1，.规定F1(n)＝F(n)，Fk＋1(n)＝F(Fk(n))．例如：F1(123)＝F(123)＝10，F2(123)＝F(F1(123))＝F(10)＝1.(1)求：F2(4)和F2015(4)；(2)若F3m(4)＝89，求正整数m的最小值．3.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2＝13－(－1)3，26＝33－13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)】(1)请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；(2)求在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为多少？4.(2015重庆A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数1232＋22＝131，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此1232＋22＝131是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，⋯，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？______________________________________________________________________并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．5.(2016重庆一中三模)当一个多位数为偶数位时，在其中间位插入一位数k(0≤k≤9)得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729＋435×1000，4356729＝729＋6×1000＋435×10000.请阅读以上材料，解决下列问题．(1)若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足此条件的三位关联数；(2)对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数(0≤m≤9，且m为3的倍数)，试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．6.(2016重庆外国语学校二诊)定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如(3，6)为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被(3＋6)整除；又如(15，30，60)为三个数的祖冲之数组，因为(15×30)能被(15＋30)整除，(15×60)能被(15＋60)整除，(30×60)能被(30＋60)整除⋯.(1)我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30，⋯，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n(n－1)(n≥2，n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想；(2)若(4a，5a，6a)是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.7.(2016重庆南开阶段测试三)进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n(n≤10)进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～(n－1)进行记数，特点是逢n进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数(234)5＝2×52＋3×5＋4＝69，记作(234)5＝69，七进制数(136)7＝1×72＋3×7＋6＝76，记作(136)7＝76.(1)请将以下两个数转化为十进制：(331)5＝________，(46)7＝________；(2)若一个正数可以用七进制表示为(abc)7，也可以用五进制表示为(cba)5，请求出这个数并用十进制表示．8.(2016重庆实验外国语学校一诊)有一个n位自然数abcd⋯gh能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd⋯gha能被(x0＋1)整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd⋯ghab___________...
