年,1rt1.0033,S070,K70u15%1.05,d15%0.95,tdu令SS0un莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准2010—2011学年第1学期（A）卷课程名称：金融的数学模型与方法适用年级/专业08金融试卷类别：开卷（）闭卷（√）学历层次：本科考试用时：120分钟《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》一、填空题（每小题3分，共12分）1.一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约2.ctKer(Tt)ptSt3.在相反方向交易份额的原生资产S，使得构成的投资组合：VS4.dr(bar)dtdB,dBdBdt,其中a,b,为正常数，B(t)表示标准的Brown运动，为风险的市场价格。二、计算题（30分）1、（15分）设今日为1月1日，现股价为70元，无风险利率为4%，若在三个月期间，每一个月股价有两种可能：或上升5%或下降5%.若购买一张3月31日到期的敲定价为70元的看跌期权，如按合约规定，第2个月月底持有人有权提前实施期权，问期权金为多少？解：依题意得，112p0.53,1p0.47ududnnd,VnV(S,tn)(0n3,0n)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分试卷第1页共6页V2maxpV3(1p)V31,(KS2),(n2,02)3pV2(1p)V21,(n1,01)1?dXt2tdYt2dXtdYt3tdYt11XXt22YdXtXtdYtXt2212YttV3(KS),(n3,03)1V1V001pV01(1p)V11,经计算可得，V002.352、（15分）若随机过程Xt,Yt分别适合随机微分方程：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分dXt1dt1dWt,dYt2dt2dWt,其中，1,2表示相应的期望回报率，1,2表示相应的波动率，dWt表示标准的Brown运动。求d(XtYt)?解：由Ito公式可得，d(XtYt)1YtXX2YtYtYt⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分dXt2dYt122dttdt三、证明题（共30分）1、（15分）证明欧式看跌期权的价格pt(K)是敲定价格K的凸函数，即设K1K2,KK1(1)K2,(01)，则有pt(K)pt(K1)(1)pt(K2)。证：在t(tT)时刻构造两个投资组合1p(K1)(1)p(K2),试卷第2页共6页2p(K)111122,1p1,p2,1p2当h0时，c(r1,q,K)c(r2,q,K)在期权的到期日tT,VT(1)(K1ST)(1)(K2ST),VT(2)(KST)当STK1时，VT(1)VT(2)0;当KSTK1时，VT(1)(K1ST)0VT(2)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分当K2STK时，VT(1)(K1ST),VT(2)(KST)(K1ST)(1)(K2ST)，即VT(1)VT(2)；当STK2时，VT(1)(K1ST)(1)(K2ST)KSTVT(2)；因此在tT,VT(1)VT(2)，而probVT(1)VT(2)probK2STK10.由无套利原理立得，Vt(1)Vt(2)。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2、（15分）设cNh(r,q,K)是利率为r，红利率为q，敲定价为K的欧式看涨期权价格，这里t(Nh)t(0hN),SSNhS0uNhd(0Nh)。证明：当rr2时，cNh(r,q,K)cNh(r2,q,K)。证：记11rt,21r2t,p1du1duududududNN当h1时，试卷第3页共6页p1cN(r1,q,K)(1p1)cN1(r1,q,K)1NcN(r2,q,K)1c1(r2,q,K)1dc(r,q,K)uc1(r2,q,K)11112c1(S1,Kd)c1(S1,Ku)111N1N1N1N1ud210，又根据看涨期权关于敲定价格递减，可知11111111NmcN1m(r2,q,K)1c1(r2,q,K)1dc111Nmud21c1111Nm1ud2111cN1(r,q,K)1111p1cN(r2,q,K)(1p1)cN1(r2,q,K)1du11ududcN1(r,q,K)cN1(r2,q,K)ud2NN由于rr2，则1121cN1(SN1,Kd)cN1(SN1,Ku)0，即cN1(r,q,K)cN1(r2,q,K)。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分假设当hm时，cNm(r,q,K)cNm(r2,q,K)成立，则当hm1时，cNm1(r,q,K)11p1cNm(r,q,K)(1p1)cN1m(r,q,K)11p1cNm(r2,q,K)(1p1)cN1m(r2,q,K)1du11ududcNm1(r,q,K)cNm1(r2,q,K)(r2,q,K)ucN1m(r2,q,K)(SNm1,Kd)cN1m1(SNm1,Ku)0即由归纳法，可证命题成立。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分试卷第4页共6页四、综合题（共28分）1、（12分）若股票S不付红利，对于美式看跌股票期权，试说明股价下跌到一定程度，提前实施是必要的原因？答：若在时刻t，StK(1er(Tt)),那么持有人必须提前实施。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过K。但若在t时刻提前实施，当时获益KStKK(1er(Tt))Ker(Tt),把这个收益存入银行，它在的总收入将超过K。因此此时提前实施是必要的。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2、（16分）叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点，并建立认股权证的数学模型。答：认股权证的定义：持有人在确定的时间，按确定的价格按规定的股数买入一特定公司的股票。与欧式看涨期权的异同点：共同点：两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票不同点：（1）认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票，而欧式...
