类型4辅助圆问题8.(1)如图①，在△ABC中，AB＝3，BC＝2，则AC的取值范围是________；(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB＝23，以AB为边在第一象限作等边△ABC，连接OC，求OC的最大值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝4，BC＝27，AC＝6.以AC为边向上作△ADC，使得∠ADC＝120°，连接BD，则BD的长度是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)1
OC，当O、D、C三点共线时，OD＋CD＝OC，∴OC≤OD＋CD＝3＋3,即OC的最大值为3＋3；(3)存在．如解图②，以AC为底边，向下作等腰△AOC，且∠AOC＝120°，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，作BE⊥AC，OF⊥AC，OG⊥BE，连接OB、OD.第8题解图② 在等腰△AOC中，∠AOC＝120°，∴∠OAC＝30°，AF＝CF＝3，在Rt△AOF中，OF＝AF·tan30°＝3，OA＝2OF＝23， ∠ADC＝120°，∴点D在AC︵上，∴OD＝OA＝23.设AE＝x，则EC＝6－x，在Rt△ABE中，BE＝AB2－AE2＝16－x2，在Rt△BCE中，BE＝BC2－CE2＝28－（6－x）2，∴16－x2＝28－（6－x）2，解得x＝2，∴AE＝2，CE＝4，∴BE＝16－x2＝23，又 OF＝EG＝3，∴BG＝23－3＝3， OG＝EF＝AF－AE＝1，∴OB＝OG2＋BG2＝2， tan∠ACB＝BEEC＝234＝32>33＝tan∠ACO，∴点O在△ABC内． 当B、O、D三点不共线时，在△BOD中，OB＋OD>BD，当B、O、D三点共线时，OB＋OD＝BD，∴BD≤OB＋OD＝2＋23，∴BD的长度存在最大值，最大值为2＋23.9.问题提出(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，AB＝4，探究在△ABC的边上及其内部是否存在一点P，使得∠APB＝2∠ACB？若存在，请求出△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由．问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB＝4，∠C＝30°，点P是平面内一点，且∠APB＝2∠ACB，请在图中作出满足条件的所有点P，并求出△ABP面积的最大值；问题解决(3)某公园有一块三角形空地，其平面示意图如图③所示，为了美观，管理员想在这块空地上修建一个花坛，已知在△ABC中，∠CAB＝90°，那么可建立平面直角坐标系(以AB为x轴，AC为y轴)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，43)，则在坐标平面内是否存在一点P，使得∠CPB＝2∠ACB，且△CBP的面积及周长取得最大值？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)存在． △ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，又 ∠APB＝2∠ACB，∴∠APB＝90°，∴满足题意的点P在△ABC内部以AB为直径的圆弧上(含该圆弧与△ABC斜边的交点)，如解图①所示．第9题解图①在圆弧上，到AB距离最大的点为该圆弧与△ABC斜边BC的交点，此时△ABP的面积最大，其最大值为12×4×2＝4；(2) ∠ACB＝30°，∴∠APB＝2∠ACB＝60°，如解图②所示，以AB为边作等边三角形ABP1和ABP2，则∠AP1B＝∠AP2B＝60°.第9题解图②作△ABP1和△ABP2的外接圆，AP1B︵和AP2B︵就是满足条件的所有点P构成的图形(点P不与点A、B重合)．当点P在点P1或P2的位置时，点P到AB的距离最大，此时△ABP的面积最大，最大值为12×4×4×32＝43；(3)存在． ∠CAB＝90°，点A(0，0)，B(4，0)，C(0，43)，∴在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝43，∴tan∠ACB＝ABAC＝33.∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝2∠ACB＝60°.如解图③，以BC为边作等边三角形CBP1和CBP2，作△CBP1和CBP2的外接圆，则满足条件的点P所构成的图形为BP1C︵和BP2C︵(点P不与点B、C重合)，当点P在点P1或点P2的位置时，△CBP的面积最大．第9题解图③在BP1C︵上任取一点P′(异于点P1)，连接BP′、CP′，并延长CP′到点B′，使P′B′＝BP′，连接P1B′、P1P′，则∠P1P′B＝∠P1P′B′＝120°. P1P′＝P1P′，∴△P1P′B≌△P1P′B′，∴P1B′＝P1B. 在△CP1B′中，P1C＋P1B′>CB′，∴P1C＋P1B>CP′＋BP′，∴BC＋P1C＋P1B>BC＋CP′＋BP′，即当△CBP的面积最大时，△CBP的周长也最大． AB＝4，AC＝43，∠...
