【成才之路】-学年高中数学1.4第2课时含有一个量词的命题的否定练习新人教A版选修1-1一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案]B[解析]量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.2．(·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0[答案]C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3．(·甘肃临夏中学期中)命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案]D[解析]特称命题的否定是全称命题．4．已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0[答案]B[解析]条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5．(·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件[答案]B[解析]由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确； x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确．6．已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n>1000C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n<1000[答案]A[解析]特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”．二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．[答案]存在x∈R，x3－x2＋1>0[解析]全称命题的否定是特称命题．三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此¬p是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.一、选择题11．(·辽宁)已知命题p：∀x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则¬p是()A．∃x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[答案]C[解析]根据全称命题的否定是存在性命题求解．¬p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.12．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．(¬p)∧(¬q)[答案]B[解析]由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(－1,1)内有解，∴...
