【成才之路】-学年高中数学1.5.3定积分的概念同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于()A．6B．6(b－a)C．36D．不确定[答案]C[解析]6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.故应选C.2．设f(x)＝则－1f(x)dx的值是()A．x2dxB．2xdxC．x2dx＋2xdxD．2xdx＋x2dx[答案]D[解析]由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.3．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝()A．2B．－3C．－1D．4[答案]C[解析][2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为()A．(－x)dxB．|－x|dxC．－1xdxD．－xdx[答案]B[解析]围成图形如图，由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝－(－x)dx＝|－x|dx，故选B.5．∫cosxdx＝()A．0B．πC．－πD．2π[答案]A[解析]作出[0,2π]上y＝cosx的图象如图，由y＝cosx图象的对称性和定积分的几何意义知，阴影部分在x轴上方和下方部分的面积相等，积分值符号相反，故∫cosxdx＝0.6．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正[答案]D[解析]本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．二、填空题7．由y＝sinx、x＝0、x＝、y＝0所围成的图形的面积可以写成________．[答案]sinxdx[解析]由定积分的几何意义可得．8.(2x－4)dx＝________.[答案]12[解析]如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S△AOM＝×2×4＝4，S△MBC＝×4×8＝16，∴(2x－4)dx＝16－4＝12.9．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为________．[答案][分析]本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖．[解析]因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，即f(x)dx＝.三、解答题10．利用定积分的几何意义，解释下列等式．(1)2xdx＝1；(2)－1dx＝.[解析](1)2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0、x＝1、y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1.(2)dx表示由曲线y＝，直线x＝－1、x＝1、y＝0所围成的图形面积(而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，故dx＝.一、选择题11．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值()A．小于零B．等于零C．大于零D．不能确定[答案]B[解析]f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.12．定积分xdx与dx的大小关系是()A．xdx＝dxB．xdx>dxC．xdx0，若(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．4[答案]D[解析]作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，...
