【成才之路】-学年高中数学2.1从平面向量到空间向量基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．若空间向量a与向量b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量[答案]D[解析]a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A，B，C都不正确，只有D正确．2．若命题M：AA′＝BB′；命题N：四边形ABB′A′是平行四边形，则M是N的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]由四边形ABB′A′是平行四边形，可得AA′＝BB′.但是由AA′＝BB′，只能说明AA′与BB′是相等向量，AA′与BB′所在的直线可能平行或共线，并不一定构成平行四边形ABB′A′，所以M是N的必要不充分条件．3．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C1是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量[答案]C[解析]先画出平行六面体的图像，可看出向量D1A、D1C在平面ACD1上，由于向量A1C1平行于AC，所以向量A1C1经过平移可以移到平面ACD1上，因此向量D1A、D1C、A1C1为共面向量．二、填空题4．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________(填写相应序号)．①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量互相平行；③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．[答案]①②③[解析]当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．5．在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,3，在以长方体的两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．[答案]8[解析]研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个．三、解答题6.如图，正方体ABCD—EHGF，求出平面ABCD所有的法向量，并求出〈DA，DC〉、〈DA，DF〉．[分析]根据法向量的概念求解，若直线l垂直于平面ABCD，那么任何与直线l平行的非零向量都为法向量．[解析]平面ABCD所有的法向量有DF、CG、BH、AE、FD、GC、HB、EA.由于正方体的三条棱DA、DC、DF互相垂直，所以〈DA，DC〉＝90°，〈DA，DF〉＝90°.一、选择题1．下列说法中正确的是()A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小[答案]D[解析]任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．2．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么与直线AM垂直的向量有()A．CNB．BCC．CC1D．B1C1[答案]D[解析]由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D项正确．3．已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则向量AG的模为()A．6B．9C．4D．5[答案]A[解析]GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC.在Rt△GAC中，AC＝4，GC＝2，所以AG＝＝6，即|AG|＝6.4．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()A．8个B．7个C．6个D．5个[答案]A[解析]与向量AB平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB，BA，A1B1，B1A1，C1D1，D1C1，CD，DC，共8个，所以选A.[点评]直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的．5.AB＝CD的一个必要不充分条件是()A．A与C重合B．A与C重合，B与D重合C．|AB|＝|CD|D．A，B，C，D四点共线[答案]C[解析]向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关．表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．二、填空题6．在下列命题中：①若a、b为共面向量，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________．[答案]2[解析]①②是错误的，共面向量所...
