高中均值不等式讲解及习题VIP专享VIP免费

高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）3.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解：（1）y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x=－（－x－1x）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xxg不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xxQ，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解： 230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6．变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。错解．．：Q0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一...