第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义A级基础巩固一、选择题1.复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数解析:显然z是非负实数.答案:D2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i解析:两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4),故其对应的复数为2+4i.答案:C3.已知复数z=a+a2i(a>0),则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:复数z对应的点Z(a,a2),又a>0,所以a2>0,因此点Z在第一象限.答案:A4.在复平面内,O为原点,向量OA→对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量OB→对应的复数为()A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2i解析:因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以OB→对应的复数为-2+i.答案:B5.已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点),OZ→与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为()A.1+3iB.2C.(-1,3)D.-1+3i解析:因为|OZ→|=|z|=2,且OZ→与实轴正方向夹角为120°.设z=x+vi(x,v∈R),则x=|z|·cos120°=2cos120°=-1,y=|z|sin120°=3.所以复数z=-1+3i.答案:D二、填空题6.在复平面内,O是坐标原点,向量OA→对应的复数为2+i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B,则向量OB→对应的复数为________.(2)如果(1)的点B关于虚轴的对称点为C,则点C对应的复数为________.解析:(1)设向量OB→对应的复数为z1=x1+y1i(x1,y1∈R),则点B的坐标为(x1,y1),由题意可知,点A(2,1),根据对称性可知x1=2,y1=-1,所以z1=2-i.(2)设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则点C的坐标为(x2,y2),由对称性可知x2=-2,y2=-1,所以z2=-2-i.答案:2-i,-2-i7.若复数z=a+3i在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z=________.解析:因为z对应的点在第二象限,知a<0,由|z|=z,得a2+3=2,所以a2=1(a<0),所以a=-1,因此z=-1+3i.答案:-1+3i8.已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=-1+ai,若|z1|<|z2|,则实数b满足的条件是________.解析:由|z1|<|z2|,得a2+b2
0,解得-2