【成才之路】-学年高中数学知能基础测试新人教B版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为()A．－1B．45°C．－45°D．135°[答案]D[解析]y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D.2．下列求导运算正确的是()A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx[答案]B[解析]′＝1－，所以A不正确；(3x)′＝3xln3，所以C不正确；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正确；(log2x)′＝，所以B对．故选B.3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为()[答案]A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1
2D．a<－3或a>6[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故选D.5．(·山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4[答案]D[解析]如图所示由解得或∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.6．(·黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2[答案]B[解析]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.7．(·北师大附中高二期中)函数y＝的导数为()A．y′＝B．y′＝C．y′＝－D．y′＝[答案]D[解析]y′＝＝.8．函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系是()A．相切B．相交且过圆心C．相交但不过圆心D．相离[答案]C[解析]切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.圆心到直线的距离为＝<2，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.9．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B．4e2C．2e2D．e2[答案]D[解析] y′＝e，∴在点(4，e2)处的切线方程为y＝e2x－e2，令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝2，∴围成三角形的面积为e2.故选D.11．(·天门市调研)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A，B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.12．(·泰安一中高二段测)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)f(sinB)D．f(cosA)0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，又△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin(－B)>0，即sinA>cosB>0，故f(sinA)>f(cosB)，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程为______________．[答案]x＋y－2＝0[解析]设切点为，则＝－，解得x0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x＋y－2＝0.14．若函数f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．[答案]a≥0[解析]f′(x)＝′＝a＋，由题意得，a＋≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，即a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立．∴a≥0.15．(·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________．[答案](－，－)[解析]f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)，由f(x)的图象经过四个象限知，若a>0...
