【成才之路】-学年高中数学2.1.4数乘向量基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是()A．2a－bB．2b－aC．a－bD．b－a[答案]B[解析]原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b＝2b－a.2．点C在线段AB上，且AC＝AB，若AC＝λBC，则λ等于()A．B．C．－D．－[答案]C[解析]∵AC＝AB＝(AC＋CB)，∴AC＝CB＝－BC，∴λ＝－，故选C.3．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A．B．C．－D．－[答案]A[解析]解法一：∵A、D、B三点共线，∴＋λ＝1，∴λ＝.解法二：∵AD＝2DB，∴AD＝AB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB＝CA＋λCB，∴λ＝，故选A.4．若O是平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1等于()A．AOB．BOC．COD．DO[答案]B[解析]∵AB＝4e1，BC＝6e2，∴3e2－2e1＝BC－AB＝(BC＋BA)＝BD＝BO，故选B.5．(·山东曲阜师范大学附属中学高一模块测试)在△ABC中，AB＝a，AC＝b，且AM＝AB，BN＝BC，则MN＝()A．a＋bB．a＋bC．－a－bD．－a－b[答案]A[解析]如图所示，MN＝MB＋BN＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b.6．(·山东济宁任城一中高一期中测试)给出下列四个命题：①AB＋BA＝0；②AB＋BC＝AC；③AB－AC＝BC；④0·AB＝0.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]AB＋BA＝0，故①正确；AB＋BC＝AC，故②正确；AB－AC＝CB，故③不正确；0·AB＝0，故④不正确，∴选B.二、填空题7．点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.[答案]－[解析]∵＝，C在线段AB上，如图，∴设AC＝3，则CB＝2，∴AB＝5，∴AC＝AB，BC＝－AB.8．已知实数x、y，向量a、b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.[答案][解析]由已知得，∴.三、解答题9．已知：如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：DE綊BC.[解析]∵D、E分别为AB、AC的中点，故AD＝AB，AE＝AC.DE＝AE－AD＝(AC－AB)＝BC.∴DE綊BC.一、选择题1．已知向量a、b不共线，实数x、y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2[答案]A[解析]由，解得，∴x－y＝3，故选A.2．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC．BC－BAD．BC＋BA[答案]A[解析]∵D是AB的中点，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝－BC＋BA，故选A.3．O是▱ABCD所在平面内任一点，OA＝a、OB＝b、OC＝c，OD＝d，则()A．a＋b＋c＋d＝0B．a＋b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b＋c－d＝0[答案]D[解析]∵a－d＝DA，c－b＝BC，∴a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)＝DA＋BC＝0，∴选D.4．设λ、u∈R，a、b为向量，下面叙述不正确的是()A．λ(ua)＝(λu)aB．(λ＋u)a＝λa＋uaC．λ(a＋b)＝λa＋λbD．λa与a的方向相同(λ≠0)[答案]D[解析]∵λ<0时，λa与a方向相反，∴D不正确．二、填空题5．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.[答案]－[解析]∵|a|＝5，|b|＝7，∴＝，又方向相反，∴a＝－b.6．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________.[答案]3e1－e2e1＋3e2e1＋8e2[解析]∵a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，∴a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.三、解答题7．已知G是△ABC内的一点，若GA＋GB＋GC＝0.求证：G是△ABC的重心．[解析]如图，∵GA＋GB＋GC＝0，∴GA＝－(GB＋GC)以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则GD＝GB＋GC，∴GD＝－GA，又∵在▱BGCD中，BC交GD于E，∴BE＝EC，GE＝ED，∴AE是△ABC的边BC的中线，且|GA|＝2|GE|，∴G为△ABC的重心．8．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于E点，O是任意一点，如图所示．求证：OA＋OB＋OC＋OD＝4OE.[解析]解法一：因为E为平行四边形两对角线的交点，所以2OE＝OA＋OC，2OE＝OB＋OD.即4OE＝OA＋OB＋OC＋OD.解法二：因为OE＝OA＋AE＝OB＋BE＝OC＋CE＝OD＋DE，而AE＋CE＝0，BE＋DE＝0，所以4OE＝OA＋OB＋OC＋OD.9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，M、N分别是对角线BD、AC上的点，AC、BD相交于点O，已知BM＝BO，ON＝OC.设向量AB＝a，AD＝b.试用a、b表示MN.[解析]MN＝AN－AM＝AC－(AB＋BM)＝AC－AB－BD＝(AB＋AD)－AB－(AD－AB)＝(－1＋)AB＋(－)AD＝－AB＋AD＝－a＋b
