1/6总复习（三重积分、曲线曲面积分）（注：教材中带*号的内容不考）一，各种积分：重积分（一重积分即定积分，二重积分，三重积分），曲线积分（第一类，第二类；平面，空间），曲面积分（第一类，第二类）怎样识别：根据积分区域。另外对第一、第二类线、面积分还要看微元字符。二，重点：1,重积分重点主要是定限和计算，其次是几何应用（体积，曲面面积）与物理应用（质量，质心，做功，引力）2,曲线曲面积分重点主要是计算，其次是几何与物理应用3,各种积分的关系（主要用于通过互化来计算）：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式*，两类曲线曲面积分互化三，三重积分的计算：1.“2+1”公式：21(,)(,)(,,)(1)xyzxyzxyDfxyzdxdydzdxdyfxyzdz（，，）此公式可导出“1+1+1”公式，柱坐标，球坐标*2.“1+2”公式”：(,,)(2)(,,)zdcDzfxyzdxdydzdzfxyzdxdyDzfxyzz（，，）其中为用垂直于轴的平面去截割积分区域所得到的平面区域.此公式常用于当仅含时.2211()(,)()(,)2223.(,,)(3)12,,byxzxyayxzxyfxyzdxdydzdxdyfxyzdzxyzrc化为三次积分：（，，）4.化为柱坐标：当公式（），（）中的二重积分用极坐标时即为柱坐标。5*.化为球坐标：当被积函数含有积分区域的边界曲面是球坐标曲面（球面圆锥,cc面半平面）时，常使用球坐标。公式（3）定限方法：穿越法:1212(,)(,)()()zzxyzzxyyyxyyx为入口面，为出口面，为入口线，为出口线.要领：内限是外积分变量的函数。计算时由内向外，先计算内积分，把外积分变量看作常量。xyxyD6，三重积分化为三次积分定限时,的图形能画则画，不能画时不必画，只需分别画出其各个边界曲面的图形，然后把入口面和出口面想像出来，同时还需求在平面上的投影区域。四,曲线曲面积分1，基本计算方法：把曲线积分化为定积分2/6222(,,):(,,):,ABABfxyzdsdsxyzdtPxyzdxQdyRdzAB第一类：注意以及：下限上限第二类：注意：曲面积分的计算是化为二重积分：第一类：一投二代三ds；第二类：一投二代三定号2，利用关系公式来计算：两类曲线、曲面积分的关系公式；三个重要公式（其中斯托克斯公式不考），用格林公式把平面曲线积分化为二重积分，用高斯公式把曲面积分化为三重积分2222222222222222212(0).221,1.1zxyxyzzzxyxyzzxyzxyzDxyxy2例，为由与所围成可分别画出抛物面的图形与球面的图形，即可知切丝法公式（1）中入口面为和出口面为。并求得交线为于是为圆域22222222222211.11111.xyxzxyxzzxzxDxy例2，为由与所围成只需分别画出圆柱面与圆柱面的图形。即可知在切丝法公式（1）中入口面为和出口面为。并得为222222222222231,0,.1,0,01.zxyxyzzxyxyzzzxyDxy例，为由与所围成只需分别画出圆锥面与圆柱面平面的图形。即可知入口面为和出口面为。并得为圆域3/62222222222222224),2028..5,1.6,2(0)7,xydvyzxzzzxyzzdvabczdvzxyxyzz五，计算举例例，计算（其中为由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面，围成例，计算其中为例，计算其中为与所围成的立体位于第一卦限部分。例计222222222222222222222,41,1.8,13.9),1.10),1xydvyzxyzxyzxyzdvxyzzxyxyzxyzdvabcxyzdvxyz算其中为由与围成例，计算其中：，例，计算（其中为例，计算（其中为平面与三个坐标平面所围成。4/62222222222221114340101111011),2))121(,);(2)(,)(,)13()yxxyxtxyzdvxyzazxyzdvxyzdvdyfxydxdxfxydydxfxydyFtdx例，计算（其中：（提示：（（，为什么？）例，改变积分次序:（）例，设220024822222000022222()()()()4=dd5,21:,zxyrrcczccDdyfzdzfzFtzFtrdrrdzrdrrdzxyzdvzdzdxdyzdzD55，其中连续，试把化为积分变量为的定积分，并求。例解：42原积分=-=33636例解：因被积函数与无关，故用切片法（公式）：解答与提示22222222222223222221(1),4(1)15620.0(1(12xzzcczccxyzzDDababcczzdvzdzDzabdzabcczxyzxyxyzdvdxdyzdz其中为椭圆域：，其面积为因此例解：分别画出旋转抛物面，上半球面，以及平面的图形见例），易得用切丝法公式）22222212200748+yrxyrDdrdrzdz请同学自己用切片法12公式解之。5/622224-214sin22221--001cossin1741,12802,0,01,6yrxyrrxyyzxyzxyxydvxydxdydzdrrdrdzr例解：分别画出平面和的图形...
