不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设()fx，xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有()()Fxfx或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为()()fxdxFxC注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）设()fu的原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC第二类换元积分法设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC分部积分法()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)2dxxx思路:被积函数5221xxx，由积分表中的公式（2）可解。解：5322223dxxdxxCxx★(2)31()xdxx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：11411133322213()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x★(3)22xxdx（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（）★(4)(3)xxdx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxCx★★(5)4223311xxdxx思路:观察到422223311311xxxxx后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx★★(6)221xdxx思路:注意到222221111111xxxxx，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。★(7)xdxxxx34134（-+-）2思路:分项积分。解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）2223134ln||.423xxxxC★(8)2232()11dxxx思路:分项积分。解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx★★(9)xxxdx思路:xxx？看到11172488xxxxx，直接积分。解：715888.15xxxdxxdxxC★★(10)221(1)dxxx思路:裂项分项积分。解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx★(11)211xxedxe解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee★★(12)3xxedx思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然33xxxee（）。解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（）★★(13)2cotxdx思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”。解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC★★(14)23523xxxdx思路:被积函数235222533xxxx（），积分没困难。解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（））★★(15)2cos2xdx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解：21cos11cossin.2222xxddxxxC★★(16)11cos2dxx思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx★(17)cos2cossinxdxxx思路:不难，关键知道“22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx”。解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx★(18)22cos2cossinxdxxx思路:同上题方法，应用“22cos2cossinxxx”，分项积分。解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx22cscseccottan.xdxxdxxxC★★(19)11(...
