专题4.4立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。二．解题策略类型一距离最值问题【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2AB，若线段DE上存在点P使得GPBP，则边CG长度的最小值为（）A.4B.43C.D.23【答案】D又22002BGa（，，），（，，），所以2,2,,,2,.22axaxBPxGPxauuuruuur24022axaxPBPGxxauuunruuur.显然0x且2x.所以221642axx.因为0,2x，所以220,1xx.所以当221xx，2a取得最小值12.所以a的最小值为23.故选D.【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG长度为a及点P的坐标，求BPGPuuuruuur与的坐标，根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式221642axx，利用函数求其最值。举一反三1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。【答案】325,42 P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，∴点P必在线段MN上。在Rt△A1B1M中，22111115122AMABBM，同理在Rt△A1B1N中，可求得152AN，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，又2222115232244AOAMOM.所以线段A1P长度的取值范围是325,42．2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a的正方体,E和F分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）A.B.C.aD.【答案】B3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，点,PQ分别为面1111ABCD和线段1BC上的动点，则PEQ周长的最小值为_______．【答案】10【解析】将面1111ABCD与面11BBCC折成一个平面，设E关于11BC的对称点为M，E关于1BC对称点为N,则PEQ周长的最小值为23110MN.类型二面积的最值问题【例2】已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD的外接球，3BC，23AB，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A.,4B.2,4C.3,4D.0,4【答案】B关注.举一反三1、在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（）A.1010B.355C.31010D.55【答案】C【解析】如图所示，当PCABD面时，截面ABD的面积最小，此时应有minmin113310V331010PABCABCSPASPCSV。故选C。2、如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，2,11AAAB，点P是平面1111DCBA内的一个动点，则三棱锥ABCP的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1B．2C．21D．41【答案】BABCP的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B．3、正三棱锥V-ABC的底面边长为a2，E,F,G,H分别是VA,VB,BC,AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（）A．,0B．,332aC．,632aD．,212a【答案】BCB1A俯视图侧视图正视图1C1DA1BPD【解析】不妨设侧棱长尾2b,则322322ab即ab33．由已知条件得，四边形EFGH的面积23333aaaabs,故选B。类型三体积的最值问题【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最...
