第1页共6页高考达标检测（五十）几何概型命题3角度——长度（角度）、面积、体积一、选择题1.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14解析：选C当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝π3，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝2π32π＝13.2．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使x2＋y2≤1成立的概率为()A.π2B.π4C.π3D.π5解析：选B如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的14与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝π41＝π4.故选B.3．(2017·湖南师大附中检测)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，则事件“3a－1＞03b－1＞0”发生的概率为()A.49B.19C.23D.13解析：选A由题意可知0≤a≤1，0≤b≤1，该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方第2页共6页形，其面积是1.3a－1＞0，3b－1＞0，0≤a≤1，0≤b≤1表示的区域为一个边长为23的正方形，面积是49，所以所求概率为49.4．(2017·辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－54k＝0相切的概率等于()A.12B.13C.14D.16解析：选D由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为16，故选D.5．(2016·长沙三模)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a()a∈0，π与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a的值为()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B由题意知，阴影部分的面积为0asinxdx＝(－cosx)a0＝－cosa＋cos0＝1－cosa，根据几何概型的概率计算公式知1－cosaa·8a＝316，即cosa＝－12，而a∈(0，π)，故a＝2π3，故选B.6．(2017·伊春模拟)在区间－π6，π2上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，2]的概率是()A.12B.34C.38D.58第3页共6页解析：选B因为x∈－π6，π2，所以x＋π4∈π12，3π4，由sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈[1，2]，得22≤sinx＋π4≤1，所以x∈0，π2，故要求的概率为π2－0π2－－π6＝34.7．(2017·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB―→＋PC―→＋2PA―→＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.12D.23解析：选C如图所示，设点M是BC边的中点，因为PB―→＋PC―→＋2PA―→＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝S△PBCS△ABC＝12，故选C.8．(2016·烟台模拟)在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.12B.23C.34D.14解析：选C要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出0≤a≤1，0≤b≤1，a－2b＜0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34.二、填空题9．已知线段AC＝16cm，先截取AB＝4cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成第4页共6页两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128cm3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为xcm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x2－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：1310．(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于3的概率是________．解析：依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－322＝12，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12.答案：1211．(2017·重庆检测)在不等式组x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．解析：画出不等式组x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥2表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC＝12×3×32＝94，S△AOD＝12×1×1＝12，所以点P恰好落在第二象限的概率为S△AODS△ABC＝1294＝29.答案：2912.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD...
