2.1.5平面上两点间的距离【课时目标】1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为P1P2＝______________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为OP＝____________．3．平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则一、填空题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且AB＝5，则b＝________．2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形的形状为__________三角形．3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB＝________．4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________．5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB最短，则点M的坐标是________．6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为____________．7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．9．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．二、解答题10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且AB＝5，求直线l1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝＋的最小值．13≥．求证：＋＋＋2．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面“”直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须避繁就简．2．1．5平面上两点间的距离答案知识梳理1．3．作业设计1．0或8解析由＝5，解得b＝0或8．2．等腰3．2解析设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴AB＝2．4．4x－2y＝5解析设到A、B距离相等的点P(x，y)，则由PA＝PB得，4x－2y＝5．5．(1,0)解析(如图)A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得M坐标为(1,0)．6．x＋y－5＝0解析由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由PA＝PB，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．7．解析由题意知解得∴d＝＝．8．(2,10)或(－10,10)解析设M(x，y)，则|y|＝＝10．解得或9．2解析BD＝BC＝2，AD＝＝2．在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长AB＝＝2．10．解由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．由AB2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5．当x0＝1时，AB方程为x＝1，当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0．综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．11．证明如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则AB＝c，又由中点坐标公式，可得D，E，所以DE＝－＝，所以DE＝AB．即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y＝＋．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得PA＋PB最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，故PA＋PB的最小值为A′B的长度．由两点间的距离公式可得A′B＝＝5，所以函数y＝＋的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝OA＋AD＋AB＋AC，∵OA＋AC≥OC＝，AB＋AD≥BD＝，∴OA＋AD＋AB＋AC≥2(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．
