8.一元一次方程知识纵横早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想:首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题;其次,把所有的数学问题转化为代数问题;最后,把所有的代数问题转化为解方程.??虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现,但是充分说明了方程(equation)的重要性.一元一次方程(linearequationwithoneunknown)是代数方程中最基础的部分,是后续学习的基础,其基本内容包括:解方程、方程的解及其讨论.解一元一次方程有一般程序化的步骤,我们在解一元一次方程时,既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程,又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程.当方程中的系数是用字母表示时,这样的方程叫含字母系数的方程,含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b的形式,继续求解时,一般要对字母系数a、b进行讨论:1.当a≠0时,方程有惟一解x=ba2.当a=0且b≠0时,方程无解;3.当a=0且b=0时,方程有无数个解.例题求解【例1】(1)已知关于x的方程3[x-2(x-3a)]=4x和312xa-158x=1?有相同的解,?那么这个解是___________.(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)如果12+16+112+⋯+1(1)nn=20032004,那么n=________.(第18届江苏省竞赛题)思路点拨(1)设法建立关于a的等式,再解关于a的方程求出a的值;(2)?恰当地解关于n的一元一次方程.解:(1)2728提示:两方程的解分别为27a、27221a;(2)n=2003【例2】当b=1时,关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解,则a等于(?).A.2B.-2C.-23D.不存在(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨将b=1代入原方程,整理所得方程,就方程解的个数情况建立a的等式.解:选A.提示:原方程化为(3a-6)x=2a-4,则3a-6=0且2a-4=0.【例3】是否存在整数k,使关于x的方程(k-5)x+6=1-5x在整数范围内有解?并求出各个解.思路点拨把方程的解x用k的代数式表示,利用整除的知识求出k.解:存在整数k,k=±1或k=±5,原方程解分别为x=5m或x=1m.【例4】解下列关于x的方程.(1)4x+b=ax-8;(a≠4)(2)mx-1=nx;(3)13m(x-n)=14(x+2m).思路点拨首先将方程化为ax=b的形式,?然后注意每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.解:(1)x=84ba;(2)当m≠n时,方程有惟一解x=1mn;当m=n时,原方程无解;(3)原方程化为(4m-3)x=4mn+6m,当m≠34时,原方程有惟一解x=4643mnmm;当m=34,n=-32(由4mn+6m=0,即n=-64mm=-32得到)时,原方程有无数个解;当m=34,n≠-32时,原方程无解.【例5】已知p、q都是质数,并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97?的解是1,求代数式40p+101q+4的值.(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用代解法可得到p、q的关系式,进而综合运用整数相关知识分析.解:提示:把x=1代入方程px+5q=97,得p+5q=97,故p与5q中必有一个数是偶数.(1)若p=2,则5q=95,q=19,40p+101q+4=40×2+101×19+4=2003.(2)5q为偶数,则q=2,p=87,而87不是质数,与题设矛盾,舍去,因此原式值为2003.学力训练一、基础夯实1.已知x=-1是关于x的方程7x3-3x2+kx+5=0的解,则k3+2k2-11k-85=______.2.计算器上有一个倒数键1/x,能求出输入的不为零的数的倒数(注:有时需先按shift或2nd键,再按1/x键,才能实现此功能,下面不再说明).例如,输入2,按下键1/x,则得0.5,现在计算器上输入某数,再依下列顺序按键:1/x-11/x-1,在显示屏上的结果为-0.75,则原来输入的某数是_______.(第17届江苏省竞赛题)3.方程16(20x+50)+23(5+2x)-12(4x+10)=0的解为______;解方程12｛12[12(12x-3)-3]-3｝-3=0,得x=_______.4.已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解,那么a=_____,b=_____.(“希望杯”邀请赛试题)5.和方程x-3=3x+4不同解的方程是().A.7x-4=5x-11B.13x+2=0C.(a2+1)(x-3)=(3x+4)(a2+1)D.(7x-4)(x-1)=(5x-11)(x-1)6.已知a是任意有理数,在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1(2)方程ax=a的解是x=1(3)方程ax=1的解是x=1a(4)方程│a│x=a的解是x=±1结论正确的个数是().A.0B.1C.2D.3(江苏省竞赛题)7.方程x-16[36-12(35x+1)]=13x-2的解是().A.1514B.-1514C.4514D.-45148.已知关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解,则ab是().A.正数B.非正数C.负数D.非负数9.解下列关于x的方程:(1)ax-1=bx;(2)4x+b=ax-8;(3)k(kx-1)=3(kx-1).10.a为何值时,方程3x+a=2x-16(x-12)有无数多个解?无解?二、能力拓展11.已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,...
