一元二次方程根的判别式的综合应用VIP免费

一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)解：(1)2x2+3x-4=0a=2,b=3,c=-4, Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。(2) a≠0,∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， Δ=(-b)2-4·a·0=b2, 无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1） 方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2） 方程有两个不相等的实数根，∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3） 方程有两个不相等的实数根，∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9③证明字母系数方程有实数根或无实数根。例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2 不论m取任何实数(m2+2)2>0,∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。④应用根的判别式判断三角形的形状。例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0(c+b)x2-2ax+cm-bm=0根据题意： 方程有两个相等的实数根，∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0∴Δ=m(a2+b2-c2)=0又 m>0,∴a2+b2-c2=0∴a2+b2=c2又 a,b,c为ΔABC的三边，∴ΔABC为RtΔ。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（）;（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0解：（1）令16a2+ka+1=0 方程有两个相等的实数根，∴Δ=k2-4×16×25=0∴k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0 方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0∴k=4⑥可以判断抛物线与直线有无公共点例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0， 抛物线与直线只有一个交点，∴Δ＝0，即4m+5=0∴(说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点（１）当y=0时，即有ax2+bx...