一元二次方程知识点汇总一、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：①方程两边都是关于未知数的等式②只含有一个未知数③未知数的最高次数为2如：2x2-4x+3=0，3x2=5为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。二、一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有：ax2=0，∴x2=0，∴x=0（2）当b=0，0≠0时，有：ax2+c=0， a≠0，此方程可转化为：①当a与c异号时，，根据平方根的定义可知，，即当b=0，c≠0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。②当a与c同号时，， 负数没有平方根，∴方程没有实数根。（3）当b≠0，c＝0时，有ax2+bx=0，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程ax2+bx=0有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。三、一元二次方程解法：1.第一步：解一元二次方程时，如果给的不是一元二次方程的一般式，首先要化为一元二次方程的一般式，再确定用什么方法求解。2.解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。解法步骤：①把常数项移到等号右边，ax2=-c；②方程中每项都除以二次项系数，；③开平方求出未知数的值：（2）因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解。解法步骤：①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根；例：解关于x的方程：x2-（m+n）x+mn=0解：把方程左边因式分解成：（x-m）（x+n）=0∴x1=m，x2=n（3）配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可以使用此方法。解法步骤：①若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；②把常数项移到等号右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；⑤方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根；例：解方程：3x2+12x-6=0解：方程两边同除以3得：x2+4x-2=0移项，得：x2+4x=2∴x2+4x+（2）2=2+（2）2即：（x+2）2=6∴x+2=±√6（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。求根公式：，其中a≠0。解法步骤：①先把一元二次方程化为一般式；’②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值；③计算出b2-4ac的值；④把a、b、b2-4ac的值代入公式；⑤求出方程的两个根；例：解方程：x2-4x+4=0解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4△=b2-4ac=（-4）2-4×1×4=0∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根为x1=x2=2四、一元二次方程根的判别式1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的根的判别式。利用根的判别式可以判断根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（1）当△≥0时方程有两个实数根，｛（2）当△＜0时，方程无实数根。例：关于x的一元二次方程（m-1）2-2（m-3）x+m+2=0有实数根，求m的取值范围。解：当m-1≠0时，即：m≠1时，该方程是关于x的一元二次方程。 △≥0，即△=[-2（m-3）]2-4（m-1）（m+2）=-28m+44≥0，解得：m≤11/7∴m的取值范围是m≤11/7且m≠1。五、一元二次方程根与系数的关系：1.定理：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且b2-4ac≥0）的两个根分别为x1和x2，则：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a特别地：对于一元二次方程x2+px+q=0，根与系数的关系为：x1+x2=-p，x1·x2=q注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是说方程必须有实根时才可以使用。②此定理又叫韦达定理。2.根与系数关系的应用举例：当△＝0时，方程有两个相等的实数根；练习1解一元二次方程1.用直接开方法解一元二次方程①x2+1=2②（2x-1）2=7③x2-36=0④（3x-4）2=（3-4x）2⑤25x...
