第四讲基本初等函数及函数的应用（推荐时间：50分钟）一、选择题1．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为()A.B.C．1D．22．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()A．f(1)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为()A.B.C.D.7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，－2]D．[1,2]8．(·天津)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2]D．[－2，－1]二、填空题9．(·陕西)则f(x)＝则f(f(－2))＝____________.10．(·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．11．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．12．(·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．三、解答题13．(·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．14．已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋.求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由．答案1．B2．B3．D4．B5．C6．A7．D8．B9．－210．－11．212．61000013．解(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x10⇒a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，当a<0，b>0时，x>－，则x>log1.5；当a>0，b<0时，x<－，则x0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点．方法一h′(x)＝3x2－1－x，记φ(x)＝3x2－1－x，则φ′(x)＝6x＋x.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ()<0，则φ(x)在(，1)内有零点，所以φ(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)<φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)>φ(x1)＝0.所以当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减，而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点；当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．方法二由h(x)＝x(x2－1－x－)，记φ(x)＝x2－1－x－，则φ′(x)＝2x＋x.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．
