例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.Minz=5x1+3xs.t.-2x1+3x≥63x1-6x≥4Xj≥0（j=1,2）解：将问题转化为Maxz=-5x1-3xs.t.2x1-3x+x3=-6-3x1+6x+x4≥-4Xj≥0（j=1,2，3,4）其中，x3，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.表4-17例4-7单纯形表Cj-6-3-40CBXBbX1X2X3X4迭代0次0X4-62[-3]100X5-4-36010-5-300CBXBbX1X2X3X4迭代1次-3X42-2/31-1/300X3-1610216-70-10在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.注意:对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(p)为Minz=CXs.t.则标准型(LP)为Maxz=CXs.t.其对偶线性规划（D）为Maxz=bTYs.t.用对偶单纯形法求解（LP），得最优基B和最优单纯形表T（B）。对于（LP）来说，当j=n+i时，有Pj=-ei，cj=0从而，在最优单纯形表T（B）中，对于检验数，有（σn+1，σn+2…σn+m）=（cn+1，cn+2…，cn+m）-CBB-1（Pn+1,Pn+2…,Pn+m）=-CBB-1(-I)于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m）T。可见，在（LP）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。同时，在最优单纯形表T（B）中，由于剩余变量对应的系数所以B-1=（-yn+1，-yn+2…-yn+m）例4-8求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。Minz=6x1+8xs.t.x1+2x≥203x1+2x≥50Xj≥0（j=1,2）解：将问题转化为Maxz=-6x1-8xs.t.-x1—2x+x3=20-3x1-2x+x4=50Xj≥0（j=1,2，3,4）用对偶单纯形法求解如表表4-18例4-8单纯形表Cj-6-800CBXBbX1X2X3X4迭代0次-8X45/201-3/41/4-6X515101/2-1/2-1100031在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。例4-9：求解线性规划问题：Minf=2x1+3x2+4x3S.t.x1+2x2+x3≥32x1-x2+x3≥4x1,x2,x3≥0标准化：Maxz=-2x1-3x2-4x3s.t.-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x5≥0表格对偶单纯形法Cj-6-800CBXBbX1X2X3X4迭代0次-8X45/201-3/41/4-6X515101/2-1/2-1100031
