2014年考研高等数学系统复习第二章导数与微分题型讲解一、导数与微分定义导数的原始定义1.设存在，求下列各极限：(1)；答:.(2).答:.2.（112）已知)(xf在处可导，且则（A）；（B）；（C）；（D）.答:.3.设函数)(xf可导，则（）（A）；（B）；（C）；（D）.答:.4.已知，求xxxxfxtan)cos(sinlim20.答:.5.设函数)(xf对任何恒有，且，试确定.答:.6.设函数)(xf在点1x处连续，且，求.答:.7.设函数)(xf在点0x处存在二阶导数，且，求)0(f，)0(f，.答:.8.求下列函数在指定点处的导数：（1）设，求)1(f；答:.62014年考研高等数学系统复习（2）设，在处连续，求；答:.（3）设，求)0(f.答:.（4）（122）设函数，其中为正整数，则（A）.（B）.（C）.（D）.答:.左导数、右导数与导数9.研究函数在处的连续性和可导性.答:连续但不可导,因为.10.(011)设0)0(f，则在点可导的充要条件为（A）存在；（B）存在；（C）存在；（D）hhfhfh)()2(lim0存在.答:.11.(951)设函数)(xf一阶连续可导，，则是在点处可导的()（A）充分但不必要条件；（B）必要但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件.答:.12.设函数)(xf在点可导，则函数在点不可导的充要条件为（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.答:.13.设函数)(xf在点处连续，下列命题错误的是72014年考研高等数学系统复习（A）若存在，则；（B）若存在，则；（C）若存在，则存在；（D）若存在，则存在.答:.14.（033）设函数，其中在处连续，则是)(xf在点处可导的（A）充分但不必要条件；（B）必要但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件.答:.15.(981)函数的不可导点的个数是()（A）3；（B）2；（C）1；（D）0.答:.16.设，其中有二阶连续导数，（1）求；（2）讨论在上的连续性.答:(1)；(2)在上的连续.导数与微分17.（061）设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的增量，与分别为在点处的增量与微分，若，则（A）.（B）.（C）.（D）.答:.18.(981)已知函数在任意点处的增量为，且当时，是的高阶无穷小，，则等于（A）；（B）；（C）；（D）.答:.19.设函数在处可导，按通常定义，则（）82014年考研高等数学系统复习（A）-2；（B）-1；（C）0；（D）1.答:.二、复合函数求导数20.若又在点处可导，求.答:.21.（123）若函数，则.答:.22.若，求.答:.23.求下列函数的导数：（1）.答:.（2）.答:.（3）.答:.24.求下列函数的导数：(1)；答:.(2)；答:.(3)；答:.92014年考研高等数学系统复习(4)，.答:.25.利用变换将方程化简，.答:.三、参数方程求导数26.设，求.答:.27.设，其中可导，且，求.答:.28.（101）设，.答:.29.设，.答:.四、隐函数求导数30.设函数是由方程所确定的，求.答:.31.设函数是由方程所确定的，求.答:.102014年考研高等数学系统复习32.（103）设可导函数由方程确定，则.答:.33.设，其中满足方程，其中及具有二阶导数，求.答:,.34.设函数是由方程组确定，求.答:.五、反函数求导数35.设是可导函数，且，则的反函数当自变量取4时的导数值为（）.答:.36.已知是的反函数，，试用表示.答:.六、高阶导数37.设，求.答:.112014年考研高等数学系统复习38.设，求.答:.39.设，求.答:.40.函数在处的阶导数.答:.41.设，求.答:.42.设，求.答:.43.设，求.答:.44.设，求.答:.45.求函数在处的阶导数.答:.46.设，求.答:.47.设，则使存在的最高阶数为（）122014年考研高等数学系统复习（A）0；（B）1；（C）2；（D）3.答:.七、导数的几何与物理意义48.（001）设函数为周期为5的连续函数，在处可导，且有关系式，其中，求曲线在点处的切线方程.答:.49.试证星形线上任一点处的切线在轴与轴之间的线段为定长.提示:曲线上点处的切线与轴和轴的交点坐标为:.50.（092）曲线在点处的切线方程为答:.51.（081）曲线在点处的切线方程为答:.52.（102）曲线与曲线相切，则（A）；（B）；（C）；（D）.答:.53.证明曲线上任一点与该点的切线和轴交点的距离恒为常数.提示:时曲线上点处的切线与轴的交点坐标为:.54.（971）对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为.答:.55.有一底半径为R厘米，高为厘米的圆锥形容器，以每秒A立方厘米的速度往容器中倒水，试求容器内水位等于锥高一半时，水面的上升速度.答:.13
