相似三角形判定的综合一相似三角形的判定(教材P36练习第2题)图1中的两个三角形是否相似？为什么？图1解：不相似．理由：三边比例不同，≠≠.(2)相似．理由：∠ACB＝∠ECD∵＝＝，＝＝∴＝，∴△ABC≌△EDC在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2，则AD的长是(C)A.B.C.－1D.＋1【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠A)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠DBC.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，且AD＝BD＝BC.设BD＝x，则BC＝x，CD＝2－x.由于＝，∴＝.整理得x2＋2x－4＝0，解方程得x＝－1±.∵x为正数，∴x＝－1＋.如图2，已知＝＝.求证：△DBE∽△ABC.证明：∵＝＝，∴△ABD∽△CBE.∴∠ABD＝∠EBC.∴∠ABC＝∠EBD.∵＝，∴＝.∴△DBE∽△ABC.图2图3如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)求线段AE的长．解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC.(2)∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE.由△ABE∽△DBC，得＝.∵AB＝AD＝25，BC＝32，∴＝，∴BE＝20，∴AE＝＝＝15.如图4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.图4(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平方四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC.(2)∵四边形ABCD为平方四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6.如图5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发．(1)经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2?(2)经过多少秒钟，△ABC与△BPQ相似？图5解：(1)设经过xs，△PBQ的面积等于8cm2，则(6－x)·2x＝8，解得x＝2或x＝4.∴经过2s或4s时，△PBQ的面积为8cm2.(2)①设经过ys时，△BPQ∽△BAC，则＝，即＝，解得y＝.②设经过zs时，△BPQ∽△BCA，则＝，即＝，解得z＝.∴当经过s或s时，△ABC与△BPQ相似．二圆中的相似(教材P58复习题27第8题)如图6，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.图6证明：连接AC，BC，因为AB是直径，所以∠ACB＝90°，因为CD垂直AB，所以∠ACP＝∠CBA＝90°－∠A，所以△ACP∽△CBP，＝，所以PC2＝PA·PB
