初三数学运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题二.重点、难点：1.学习如何分析问题，从实际问题中抽象出数学问题，画出图形表示基本关系。2.解直角三角形知识的灵活运用。3.一些基本名词——仰角、俯角、坡角的正确理解与应用。4.联系实际解决问题的能力。【典型例题】例1.如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400米，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°，求山高CD（精确到0.01米）。解：（1）过C作CE//AD，则∠ECB=60°过B作BF⊥CD交FBG⊥AD于G∴∠BCF=30°在Rt△AGB中：∠BAG=30°AB=400米则BG=AB·sin30°=400×=200（米）在Rt△CFB中：∠BCF=30°，BC=320米则CF=BC·cos30°=320×（米）∴山高CD=CF+FD=CF+BG（米）小结：（1）俯角是视线与水平线的夹角（2）山坡的坡角是水平线与山坡的夹角（3）牢记：，在进行近似计算时常常用到。（4）注意转化：，则有，则有例2.某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而在春分日正午光线与地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）。分析：①要从实物问题中抽象出几何图形。②注意明确30°、45°的角是哪个角，哪里表现的是影长。③利用解Rt△知识解决问题时解：过点D作DF⊥AB，垂足为F∴AB⊥BC，CD⊥BC∴四边形BCDF是矩形∴BC=DF，CD=BF设AB=x米在Rt△ABE中∠AEB=∠BAE=45°∴BE=AB=x在Rt△ADF中∠ADF=30°，AF=AB-BF=x-3，又∴DF=AF÷tan30°= DF=BC=BE+EC解得答：塔AB的高度是米。小结：（1）在复杂图形中识别出基本的直角三角形是关键。（2）牢记含30°角、45°角的直角三角形三边关系可以提高解题速度，简化解题过程。（3）在解Rt△中，常常运用方程求解。例3.如图所示，大楼AD的高为10m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B点处的仰角为60°，爬到楼顶D点处测得塔顶B点的仰角为30°，求塔BC的高度。分析：正确理解仰角的概念——视线与水平线的夹角。解：如图所示。 四边形ACED是矩形∴AD=CE，DE=AC，∠DEB=∠ACB=90°设BE=x，则BC=CE+BE=AD+BE=10+x 在Rt△BDE中，∠EDB=30°则∴ 在Rt△ABC中，∠CAB=60°∴，则即：∴BC=15（米）答：塔BC的高度是15米。小结：（1）在多个Rt△中求解时，要注意它们相互之间的关系。（2）同一条线段用不同的代数式去表示，就可以构造方程，如BC=BE+EC。例4.为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距20海里的A、B两地设立观测站（海岸线是过A、B的直线），按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP=63°，同时在B观测站测得∠ABP=34°，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：sin63°，tan63°，sin34°，tan34°）分析：要求出点P到AB的距离d若d>12，不需发出警告，若d≤12，则要发出警告。解：作PC⊥AB于C，设PC=x在Rt△PAC中，∠PAC=63°∴在Rt△PBC中，∠PBC=34°tan34°，∴BC AC+BC=AB=20∴需要向其发出警告。注意：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度。小结：①结合实际问题要认清数量关系，正确运用三角函数求解。②理解题意，认真审题是解题的关键。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE=1.5m，CD=30m，求塔高AB。（答案保留根号）（2004年哈尔滨市）2.如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅AB，现在乙建筑物的顶部C测得条幅顶端A的仰角为45°，条幅底端B的俯角为30°，已知街道宽MN=42m，求广告条幅AB的长（精确到0.1m，参考数值）（2004年遵义市）3.如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响...
