第十章--曲线积分与曲面积分VIP专享VIP免费

第十章曲线积分与曲面积分10.01填空(1)第二类曲线积分Rdz+Qdy+Pdx化成第一类曲线积分是)dsRcosQcos(Pcos，其中﹑﹑为上点(x,y,z)处切向量的方向角。(2)第二类曲面积分Rdxdy+Qdzdx+Pdydz化成第一类曲面积分是)dsRcosQcos(Pcos，其中﹑﹑为上点(x,y,z)处的法向量的方向角10.02计算下列曲线积分：(1)dsyxL22,其中L为圆周axyx22解：L:xyax22表示为参数方程:x=a2a2cosy=a2sin()02有cos2a=y,sin2axxya4a2''222)cos1(2a=axyx222d2acos+12adsyx20L22d2cos2a42=202022d2cosd2cos2aaa2220222sinsin(2)zds,其中为曲线tcostx，tsintx，tz，0tt0解：:cossin()xttyttzttt00xyztttt'''22222zdsttdtt2200)t2(dt2212t020x2+y2=ax0axya/2Lθ322)t2(0t)t2(32212/32002/32(3)Lxdydx)ya2(,其中L为摆线)tsint(ax，)tcos1(ay上对应t从0到2的一段弧。解:20L)tsint(a)tcos1(aa2xdydx)ya2(dt)tcos1(a)tsint(a22020220220222a2tdtcos)tcos(tatdtsintadt)tsintsinttcos1(a(4)dzxyzdy2dx)zy(222，其中是曲线32tz,ty,tx上由0t1到1t2的一段弧。解:()()yzdxyzdyxdzttttttdt22246522012223()326401ttdt351t52t731057（5）Lxxdy)2ycose(dx)y2ysine(，其中L为上半圆周222ay)ax(，0y沿逆时针方向。解:补直线段OAyxa:(),002由格林公式,有DDxxOALxxdxdy2dxdy)2ycose(ycosedy)2ycose(dx)y2ysine(2区域D的面积a2又LOALOA2Lxxa20OAxxady)2ycose(dx)y2ysine(0dx0dy)2ycose(dx)y2ysine(（6）xyzdz，其中是用平面zy截球面1zyx222所得的截痕，从z轴的正向看去，沿逆时针方向Dyx02aa(x-a)2+y2=a2LA解::yzxyz2221，用参数方程表示为:xtyzttcossin(:)1202tdtcos21tsin21tcosxyzdz22020202dt2t4cos1162dt)t2(sin162162t4sin812t1622010.03计算下列曲面积分：（1）dszyx1222，其中是界于平面0z及Hz之间的原柱面222Ryx解：投影到yoz平面上的投影为yzD12其中Hz0,RyR:DyRRxx1),Hz0(yRx:yRRxx1),Hz0(yRx:yz222z2y222222z2y221dszyx1dszyx1dszyx121222222222212212222222200RzRRydydzRdyRydzRzRyRRarctgzRDRRHRRHxy(arcsin)()222102RRarctgHRarctgHR()()（2）dxdy)yx(dzdx)xz(dydz)zy(222，其中为锥面22yxz,hz0的外侧。解：补平面hz:1上侧（如上页下图），与构成一封闭曲面：1的外侧x0zy∑∑1Dxyhx2+y2=h2x0zyRH(10.03(1)图)(10.03(2)图)由高斯公式得:0d0dxdy)yx(dzdx)xz(dydz)zy(1222又11故11dxdy)yx(dzdx)xz(dydz)zy(22220320420324h02220D2222dsin3hd22cos14hd)sin3hcos4h(rdr)sinrcosr(ddxdy)yx(dxdy)yx(dzdx)xz(dydz)zy(xy14hcos3h2sin4124h4203204（3）zdxdyydzdxxdydz，其中为半球面222yxRz的上侧解:补平面hz:1下侧,与构成一封闭曲面：1的外侧；由高斯公式得:...