课时跟踪训练(二十一)空间向量的坐标表示1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．3．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,0，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ＝________.4．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.5．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC�＝AB�，则C点坐标为________．6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN�，DC�DC―→的坐标．7．已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：(1)OP�＝(AB�－AC�)；(2)AP�＝(AB�－AC�)．8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B?答案1．解析：b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．解析：由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，1∴解得λ＝10.答案：104．解析：∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，显然y≠0，∴＝＝，∴x＝，y＝－.答案：－5．解析：设C点坐标(x，y，z)，则AC�＝(x－4，y－1，z－3)．∵AB�＝(－2，－6，－2)，∴AB�＝(－2，－6，－2)＝，∴解得：答案：(，－1，)6.解：如图，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设AD�＝e1，AB�＝e2，AP�＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为DC�＝AB�＝e2，MN�＝MA�＋AP�＋PN�＝MA�＋AP�＋PC�＝－AB�＋AP�＋(PA�＋AD�＋DC�)＝－e2＋e3＋(－e3＋e1＋e2)＝e1＋e3.所以MN�＝，DC�＝(0,1,0)．7．解：AB�＝(2,6，－3)，AC�＝(－4,3,1)．(1)OP�＝(6,3，－4)＝，则点P的坐标为.(2)设P为(x，y，z)，则AP�＝(x－2，y＋1，z－2)＝(AB�－AC�)＝，∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.8．解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0，0,3)．∵E为BC的中点，∴E(2,4,0)．∴1AB�＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD�＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB�＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP�＝λ1BD�，则EP�＝EB�＋BP�＝EB�＋λ1BD�.∵EB�＝(2,0,0)，λ1BD�＝(－4λ，－4λ，3λ)，∴EP�＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE∥A1B，得EP�∥1AB�，∴2∴λ＝.此时点P为BD1的中点．故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.3
