2.1从平面向量到空间向量[A.基础达标]1．下列说法正确的是()A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量模的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确．任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确．向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，则下列向量相等的是()A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB解析：选D.因为AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形．所以DO＝OB，AD＝BC，OA＝CO.3．在四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD为()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：选B.若AB＝DC，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又|AC|＝|BD|，即AC＝BD，所以四边形ABCD为矩形．4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是()A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α平行，则a∥b解析：选D.依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的．由立体几何知识可得a，b不一定平行．5.在正四面体A-BCD中，如图，〈AB，DA〉等于()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA的起点平移到A点处，再求夹角得〈AB，DA〉＝120°，故选D.6．在正四面体A-BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则AO是平面BCD的一个________向量．解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO⊥平面BCD，所以OA是平面BCD的一个法向量．答案：法7.如图在平行六面体AG中，①AH与BG；②AG与EG；③BH与DF；④AC与HF，四对向量中不是共线向量的序号为________．解析：因为AH＝BG，所以AH与BG共线，其他三对均不共线．答案：②③④8.如图，棱长都相等的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈AA1，CC1〉＝________；〈AB，C1D1〉＝______；〈BA，DD1〉＝________．解析：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥CC1，且方向相同，所以〈AA1，CC1〉＝0°；因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以AB∥C1D1，但方向相反，所以〈AB，C1D1〉＝180°；因为AA1＝DD1，所以〈BA，DD1〉＝〈BA，AA1〉＝180°－∠A1AB＝120°.答案：0°180°120°9.如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC的相反向量；(3)若E是BB1的中点，写出与向量AE平行的向量．1解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB相等的向量只有向量A1B1.(2)向量AC的相反向量为CA，C1A1.(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则B1F，FB1，EA都是与AE平行的向量．10．如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，∠BAC＝90°，O是BC的中点，证明：SO是平面ABC的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SA＝SB＝SC＝a，因为O是BC的中点，SB＝SC，所以SO⊥BC.因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AO⊥BC，所以AO＝a.又SO＝a，SA＝a，所以△ASO是等腰直角三角形，即SO⊥OA.又OA∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC，所以SO是平面ABC的一个法向量．[B.能力提升]1．空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝bB．|a|＝－|b|C．a与b方向相同D．|a|＝3解析：选D.a与b互为相反向量，即a与b方向相反且|a|＝|b|.2．在直三棱柱ABCA′B′C′中，已知AB＝5，AC＝3，BC＝4，CC′＝4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为()A．2B．4C．8D．10解析：选C.向量AB，A′B′，AC′，CA′及它们的相反向量的模都等于5，共有8个．3.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量AB，BC，CA，PA，PB，PC中，夹角为90°的共有________对．解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC.又平面P...
