课时达标训练（二十）空间向量与空间角[即时达标对点练]题组1异面直线所成的角1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为()A．1B.C.D.2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为()A．0B.C．－D.3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.题组2直线与平面所成的角4．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错5．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.6．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．题组3二面角7．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A．120°B．45°C．135°D．60°8．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β1所成二面角的大小为________．9.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值．[能力提升综合练]1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B.C.D.2．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角ACDB的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°3．如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO到平面ABC1D1所成角的正弦值为________．4．四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝AA1＝2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点．(1)求证：EF∥平面A1BC；(2)求直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值．5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．6．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.2(1)求证：PC⊥AD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)若E为棱PA上的点，且异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．答案即时达标对点练1.解析：选Dcos〈a，b〉＝＝＝＝.2.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)．所以＝(－2，－2，3)，＝(－2，2，0)．所以cos〈，〉＝3.解析：选A设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)．4.解析：选C l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，∴它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.5.解析：选D建系如图，设正方体棱长为1，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，则＝(0，0，1)． B1D⊥平面ACD1，3∴＝(1，1，1)为平面ACD1的法向量．设BB1与平面ACD1所成的角为θ，∴cosθ＝.6.解： 四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC. 平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC.∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EA＝AC＝BC＝2，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)． M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0，1，1)．∴AM⊥EC，AM⊥CB.又 EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.(2) AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量． ＝(0，1，1)，＝(2，2，0)，∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.7.解析：选B以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有4可取n＝(1，0，1)．又平面EAD的法向量为＝(1，0，0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.8.解析：设u＝(1，...
