（新课标）2017高考数学二轮复习层级三30分的拉分题压轴专题(三)解答题第21题“函数、导数与不等式”抢分练文1.(2016·武昌调研)已知函数f(x)＝(λx＋1)lnx－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：＞0.2．(2016·合肥质检)已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x2＋x(a∈R)．(1)当a＝0时，记f(x)图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；(2)设函数g(x)＝e－(e为自然对数的底数)，若对于∀x＞0，f′(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．3．(2016·四川高考)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时，g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．4．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当0＜a＜时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝x2－2bx＋4.当a＝时，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．1.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝lnx－x＋1.则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是增函数；当x＞1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.(2)证明：由题可得，f′(x)＝λlnx＋－1.由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.∴f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.由(1)知，lnx－x＋1＜0(x＞0，且x≠1)．当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)＜0，∴＞0.当x＞1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx－x＞0，∴＞0.综上可知，＞0.2．解：(1)f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1.设P(x，y)，由于a＝0，∴k＝x2－2x＋1≥0，即kmin＝0.(2)由g(x)＝e－，得g′(x)＝，易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)≤g(1)＝0，由条件知f′(1)≥g(1)，可得a≤0.当a≤0时，f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)2－ax≥(x－1)2≥0.∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0，＋∞)成立．综上，a的取值范围为(－∞，0]．3．解：(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a＞0时，由f′(x)＝0得，x＝，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x＞1时，s′(x)＞0，所以ex－1＞x，从而g(x)＝－＞0.(3)由(2)知，当x＞1时，g(x)＞0.当a≤0，x＞1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx＜0.故当f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a＞0.当0＜a＜时，＞1.由(1)有f＜f(1)＝0，而g＞0，所以此时f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．当x＞1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x＞x－＋－＝＞＞0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．又因为h(1)＝0，所以当x＞1时，h(x)＝f(x)－g(x)＞0恒成立，综上，a∈.4．解：(1)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)，令f′(x)＝0，可得两根分别为1，－1，因为0＜a＜，所以－1＞1＞0，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．(2)a＝∈，－1＝3∉(0，2)，由(1)知，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为f(1)＝－.对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)等价于g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值－，(*)又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1，2]，所以，①当b<1时，g(x)min＝g(1)＝5－2b＞0，此时与(*)矛盾；②当1≤b≤2时，g(x)min＝4－b2≥0，同样与(*)矛盾；③当b＞2时，g(x)min＝g(2)＝8－4b，且当b＞2时，8－4b＜0，解不等式8－4b≤－，可得b≥，所以实数b的取值范围为.
