【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.2几种常见的平面变换3恒等变换、伸压变换、反射变换学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.试讨论矩阵对应的变换将直线y＝3x＋2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】设直线y＝3x＋2上的任意一点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变成点(x′，y′)，则有＝，所以将其代入y＝3x＋2中，得y′＝3x′＋2，从而可知矩阵对应的变换将直线y＝3x＋2仍变成了同一条直线.矩阵对应的变换是恒等变换.2.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下得到曲线F，求F的方程.【导学号：30650014】【解】设P(x，y)是椭圆上任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′，y′)，则有＝，即所以又4x2＋y2＝1，所以x′2＋y′2＝1.所以曲线F的方程为x2＋y2＝1.3.求曲线C：x2＋y2＝9在矩阵M＝对应的反射变换作用下得到的图形的周长.【解】设曲线C：x2＋y2＝9上任意一点P(x，y)在矩阵M＝对应的反射变换作用下得到的点为P′(x′，y′)，则＝，所以将其代入x2＋y2＝9中，得x′＋y′＝9，从而可知曲线C在矩阵M对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6π.4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)；(2)；(3)(k＞0).【解】(1)＝；(2)＝；(3)＝(k＞0).对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半.矩阵(k＞0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量变成，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k倍.当k＞1时，矩阵(k＞0)对应的是沿y轴方向的伸长变换；当0＜k＜1时，矩阵(k＞0)对应的是沿y轴方向的压缩变换；当k＝1时，则矩阵对应的是恒等变换.5.设a，b∈R，若矩阵A＝把直线l：y＝2x－4变换为直线l′：y＝x－12，求a，b的值.【解】在直线l上取两点(2，0)，(0，－4)，则＝，＝.由题意，知点(2a，－2)，(0，－4b)在直线l′上，从而解得6.已知a，b∈R，若M＝所对应的变换TM把直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求实数a，b的值.【解】在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变为点P′(x′，y′)，1则＝∴所以点P′(－x＋ay，bx＋3y)，∵点P′在直线l上，∴3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1，∵方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1即为直线l的方程3x－2y＝1，∴解得7.已知矩阵M1＝，M2＝，研究圆x2＋y2＝1先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.【导学号：30650015】【解】由题意，即求圆x2＋y2＝1在矩阵M3＝对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，点P在矩阵M3对应的变换作用下，得点P′(x′，y′)，则有＝，即∴代入x2＋y2＝1，得＋4y′2＝1.故所求曲线方程为＋4y2＝1.能力提升]8.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值.【解】在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′，B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b).＝，所以B′的坐标为(－2a，－8).由题意A′，B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.2
