高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程高效测评 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线y2＝ax的准线方程是x＝－2，则a的值是()A.B．－C．8D．－8解析：由题意知a>0，即2p＝a，∴＝，∴－＝－2，p＝4，∴a＝8.答案：C2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值等于()A．－2B．2C．－4D．4解析：椭圆右焦点为(2,0)，所以＝2，p＝4.答案：D3．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是()A．圆B．椭圆C．圆的一部分D．抛物线解析：如图所示，以直线l为y轴，以过点A且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设动圆的圆心为P，则|PA|＝|PB|.即动点P到定点A和到定直线l的距离相等，依定义可知，动圆圆心的轨迹为抛物线．答案：D4．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解．∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________.解析：由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：86．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.1解析：数形结合法．建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0＞0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2m.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．解析：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，由抛物线y2＝2px(p>0)，可知其准线为x＝－，即＋9＝10，则p＝2，所以抛物线为y2＝4x，当x＝9时，y2＝36，得y＝±6，所以点M的坐标为(9,6)或(9，－6)．8．已知点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．解析：方法一：设动点M的坐标为(x，y)，点M到定直线l的距离为d，依题意得|MF|＝d－1，即＝x＋4，平方整理得y2＝16x.方法二：设点M的坐标为(x，y)，由已知条件“点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”即“点M与点F(4,0)的距离与它到直线l：x＋4＝0的距离相等”，根据抛物线定义可知，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点，直线l：x＋4＝0为准线的抛物线，＝4,2p＝16，轨迹方程是y2＝16x.9．(10分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．2因灯口直径|AB|＝24cm.灯深|OP|＝10cm，所以点A的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122＝2p×10，∴p＝7.2.抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.3