第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求直线与平面所成角2利用向量法求距离1综合应用3,4【教师备用】(2016邢台摸底考试)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=
(1)求证:AB⊥PC;(2)求二面角BPCD的余弦值
(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,因为△APB为等腰三角形,所以PO⊥AB,又四边形ABCD是菱形,∠BCD=120°,所以△ACB是等边三角形,所以CO⊥AB
又CO∩PO=O,所以AB⊥平面PCO,又PC⊂平面PCO,所以AB⊥PC
(2)解:易求得PO=1,OC=,所以OP2+OC2=PC2,所以OP⊥OC
以O为坐标原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示
则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0,1),D(,-2,0),=(,-1,0),=(,0,-1),=(0,2,0)
设平面DCP的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,得所以n=(1,0,),设平面PCB的法向量m=(a,b,c),即令a=1,则b=c=,所以m=(1,,),所以cos==,由图易知二面角BPCD的平面角为钝角
所以二面角BPCD的余弦值为-
(2016郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,PD⊥底面ABCD,∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点
(1)证明PA∥平面BMQ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离
(1)证明:连接AC交BQ于N,连接MN,因为∠ADC=90°,Q为AD的中点,所以N为AC的中点,又M为PC的中点,MN为△PAC的中位线,故MN∥PA,又MN⊂平面BMQ,所以PA∥平面BMQ
