3.2.1复数的加法和减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A.5－3iB.3＋5iC.7－8iD.7－2i【解析】(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】C2.在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝()A.B.2C.D.4【解析】由复数减法运算的几何意义知，AB对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|AB|＝2.【答案】B3.复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A.a＝－3，b＝－4B.a＝－3，b＝4C.a＝3，b＝－4D.a＝3，b＝4【解析】由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故解得a＝－3，b＝－4.【答案】A4.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.【答案】B5.设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()【导学号：37820043】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.【答案】C二、填空题16.计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝___________________.【解析】原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.【答案】16i7.z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.【解析】设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝＝1，解得b＝1，∴z＝i.【答案】i8.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________.【解析】|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0，0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2).故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.【答案】2＋1三、解答题9.已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求复数z＝a＋bi.【解】z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i，∴解得∴z＝2＋i.10.如图323，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.图323【解】法一：设正方形的第四个点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，∴AD＝OD－OA对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，BC＝OC－OB对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，即解得故点D对应的复数为2－i.法二：∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.[能力提升]1.实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A.1B.2C.－2D.－1【解析】z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，2∴∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】A2.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()【导学号：37820044】A.内心B.垂心C.重心D.外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等.所以z对应的点为△ABC的外心.【答案】D3.若复数z满足z－1＝cosθ＋isinθ，则|z|的最大值为________.【解析】∵z－1＝cosθ＋isinθ，∴z＝1＋cosθ＋isinθ|z|＝＝≤＝2.【答案】24.在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.(1)求AB，AC，BC对应的复数；(2)判断△ABC的形状.【解】(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.∴OA，OB，OC对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，∴OA＝(1，0)，OB＝(2，1)，OC＝(－1，2).∴AB＝OB－OA＝(1，1)，AC＝OC－OA＝(－2，2)，BC＝OC－OB＝(－3，1).即AB对应的复数为1＋i，AC对应的复数为－2＋2i，BC对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AB|2＋|AC|2＝10＝|BC|2.又∵|AB|≠|AC|，∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.3
