第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2019广东惠州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a3+a4=15,a7=13,则S5=()A.28B.25C.20D.18答案B由{an}是等差数列,可得a2+a4=2a3,所以a3=5,所以S5=5(a1+a5)2=5×2a32=25,故选B.2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是()A.20B.36C.24D.72答案C由a2+S3=4及a3+S5=12,得{4a1+4d=4,6a1+12d=12,解得{a1=0,d=1,∴a4+S7=8a1+24d=24.故选C.3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C设数列的公差为d,由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,{2a1+7d=24,6a1+6×52d=48,即{2a1+7d=24,2a1+5d=16,解得{a1=-2,d=4,故选C.4.若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为()A.22B.21C.24D.23答案D因为3an+1=3an-2,所以an+1-an=-23,所以数列{an}是首项为15,公差为-23的等差数列,所以an=15-23(n-1)=-23n+473,令an=-23n+473>0,得n<23.5,因为n∈N*,所以使ak·ak+1<0的k值为23.5.(2019广东广州联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*),则a2017的值为()A.2018B.4028C.5037D.3019答案B由题意得{am=a1+(m-1)d=4,Sm=ma1+m(m-1)2d=0,Sm+2-Sm=am+1+am+2=2a1+(m+m+1)d=14,解得{a1=-4,m=5,d=2,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6,∴a2017=2×2017-6=4028.故选B.6.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于.答案3解析因为S17=a1+a172×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=3.7.在等差数列{an}中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.答案10解析S100=1002(a1+a100)=45,a1+a100=910,a1+a99=a1+a100-d=25,则a1+a3+a5+…+a99=502(a1+a99)=502×25=10.8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明数列{bn2n}为等差数列,并求{bn}的通项公式.解析(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1适合上式,所以an=2n-1(n∈N*).(2)因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即bn+12n+1-bn2n=2.又b121=1,所以{bn2n}是首项为1,公差为2的等差数列,得证.所以bn2n=1+2(n-1)=2n-1.所以bn=(2n-1)×2n.9.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解析(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.所以{an}的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=[2n+35].当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,bn=1;当n=4,5时,2≤2n+35<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,bn=3;当n=9,10时,4≤2n+35<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.B组提升题组1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为()A.176升B.72升C.11366升D.10933升答案A自上而下设各节竹子的容积为a1,a2,…,a9,依题意有{a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=32+43=176.选A.2.(2019吉林长春质量检测(一))在等差数列{an}中,已知a6+a10=0,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7或8C.8D.9答案B等差数列{an}中,由a6+a10=0可得a1=-7d,则Sn=d2(n2-15n),当n=152=7.5时,Sn最小,又n∈N*,所以当n=7或n=8时前n项和最小,故选B.3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,所以a2n-1=1+(n-1)×4=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)×4=4n-1.所以an=2n-1,因为an+1-an=2,为常数.所以存在λ=4,使得{an}为等差数列.4.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.(1)证明:数列{an}为等差数列;(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值.解析(1)证明:由已知可得2Sn=an2+an,且an>0,当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.当n≥2时,有2Sn-1=an-12+an-1,所以2an=2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,所以an2-an-12=an+an-1,又因为(an+an-1)>0,所以an-an-1=1(n≥2).故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知an=n.设cn=an·bn,则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-(n-52)2+254,因为n∈N*,所以当n=2或n=3时,an·bn取最大值,最大值为6.
