第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2019·高考北京卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b解析：选B.由题意得，＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以＝，＝，所以4b2＝3a2.故选B.2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.C．2D．2解析：选D.设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1⇒bc＝1，2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.C.D.解析：选D.由题意知x2＝y，则F(0，)，设P(x0，2x)，则|PF|＝＝＝2x＋，所以当x＝0时，|PF|min＝.4．(2019·高考天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.解析：选D.由题意知F(1，0)，l：x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×，所以＝2，所以e＝＝＝＝，故选D.5．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.解析：选A.通解：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为＋y2＝，将圆＋y2＝与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝，所以点P，Q的横坐标均为.由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此＋＝a2，即＋＝a2，即＝a2＝，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝＝，故选A.优解一：记F(c，0)．连接OP，PF，则OP⊥PF，所以S△OPF＝|OP|·|PF|＝|OF|·|PQ|，即a·＝c·c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝＝，故选A.优解二：记F(c，0)．依题意，PQ是以OF为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是该圆与OF垂直的直径，所以∠FOP＝45°，点P的横坐标为，纵坐标的绝对值为，于是有×＝a，即e＝＝，即C的离心率为，故选A.6．已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，]B．(1，]C．[，＋∞)D．[，＋∞)解析：选C.设圆心到直线l的距离为d(d>0)，因为|MN|≥2，所以2≥2，即00，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|＝.所以≥，即≥，所以≥，即1－≥，所以e≥，即双曲线的离心率e的取值范围是[，＋∞)．故选C.二、填空题7．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为______．解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，所以⇒所以xy＝·＝⇒b2＝12，故双曲线的方程为－＝1.答案：－＝18．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为点B，若AM＝MB，则p＝________．解析：设直线AB：y＝x－，代入y2＝2px得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又因为AM＝MB，即M为A，B的中点，所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．答案：29．(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA|＝|PF|，所以(d1＋d2)min＝(|PF|＋|PM|)min＝|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|＝＝3，所以(d1＋d2)min＝3.答案：3三、解答题10．(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，...
